3文字の対称式

質問

対称式についての質問です。
以下のような式変形が出てきたのですが、
「天下り的に」と書いてあるだけで、
詳しいことは書いてありませんでした。
なので、なぜこのような式変形が導けるのか、
教えていただけないでしょうか。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

これは３次方程式の判別式に関する計算です。

さて、以下において、α、β、γをu,v,wで表します。αはあるふぁと入れて変換するという手間がかかるためです。

問題は

F=(u^2v+v^2w+w^2u-uv^2-vw2-wu^2)^2

をu+v+w=-a, uv+vw+wu=b, uvw=-cを用いて表せということです。

u,v,wを解とする３次方程式は解と係数の関係により

t^3-(u+v+w)t^2+(uv+vw+wu)t-uvw=t^3+at^2+bt+c=0

です。従って

u^3+au^2+bu+c=0 (1)
v^3+av^2+bv+c=0　　　　　(2)
w^3+aw^2+bw+c=0 (3)

が成り立ちます。この関係は後で使います。

F=(u^2v+v^2w+w^2u-uv^2-vw2-wu^2)^2

=[(v-w)u^2-(v^2-w2)u+v^2w-vw^2]^2

=(v-w)^2[u^2-(v+w)+vw]^2
=(u-v)^2(v-w)^2(w-u)^2

これが３次方程式の判別式です。urlで調べてもこれを係数a,b,cを用いて表現する途中の過程はごまかしているものばかりです。ここではちゃんとやりましょう。

最初に以下の式を導いておきます。

(u+v+w)^2=u^2+v^2+w^2+2uv+2vw+2wu=a^2より

u^2+v^2+w^2=+2uv+2vw+2wu=a^2-2(uv+vw+wu)=a^2-2b=m　　　　(4)

(uv+vw+wu)^2=u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2+2uvw(u+v+w)=b^2より

u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2=b^2-2uvw(u+v+w)=b^2-2ac (5)

u^3+v^3+w^3-3uvw=(u+v+w)(u^2+v^2+w^2-uv-vw-wu)=-a(a^2-2b-b)=-a^3+3abより　　　

u^3+v^3+w^3=-a^3+3ab-3c=n (6)

(u^2+v^2+w^2)^2=u^4+v^4+w^4+2u^2v^2+2v^2w^2+2w^2u^2=m^2より

u^4+v^4+w^4=m^2-2(b^2-2ac) 　　　　　　　　　　　　　　　(7)

Fの式において(4)を用いて

(u^v)^2=u^2+v^2-2uv=u^2+v^2+w^2-2uv-w^2=m-w^2-2uv

u^2+2vw=p, v^2+2wu=q, w^2+2uv=r

と記すと(u^v)^2=m-rであるので

F=(m-p)(m-q)(m-r)=m^3-(p+q+r)m^2+(pq+qr+rp)m-pqr

p+q+r=u^2+v^2+w^2+2(uv+vw+wu)=(u+v+w)^2=a^2

pq+qr+rp=(u^2+2vw)(v^2+2wu)+(v^2+2wu)(w^2+2uv)+(w^2+2uv)(u^2+2vw)

=u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2+2u(v^3+w^3)+2v(w^3+u^3)+2w(u^3+v^3)+4uvw(u+v+w)

=b^2-2ac+2u(n-u^3)+2v(n-v^3)+2w(n-w^3)+4(-a)(-c)

=b^2-2ac+2n(u+v+w)-2(u^4+v^4+w^4)=b^2-2ac-2an-2[m^2-2(b^2-2ac)]+4ac

=b^2+2ac-2a(-a^3+3ab-3c)-2[(a^2-2b)^2-2(b^2-2ac)]

=-3b^2+2a^2b

pqr=(u^2+2vw)(v^2+2wu)(w^2+2uv)

=u^2v^2w^2+2(u^3v^3+v^3w^3+w^3u^3)+4uvw(u^3+v^3+w^3)+8u^2v^2w^2

=9u^2v^2w^2+4(-c)(-a^3+3ab-3c)+2(u^3v^3+v^3w^3+w^3u^3)

=21c^2+4ca^3-12abc+2(u^3v^3+v^3w^3+w^3u^3)

(u^3v^3+v^3w^3+w^3u^3)は(uv+vw+wu)^3=b^3を展開して求めることもできますが(1)～(3)を使うと少し簡単かもしれません。

u^3v^3+v^3w^3+w^3u^3

=(-au^2-bu-c)(-av^2-bv-c)+(-av^2-bv-c)(-aw^2-bw-c)+(-aw^2-bw-c)(-au^2-bu-c)

=(au^2+bu+c)(av^2+bv+c)+(av^2+bv+c)(aw^2+bw+c)+(aw^2+bw+c)(au^2+bu+c)

=a^2(u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2)+ab(u^2v+v^2w+w^2u+uv^2+vw^2+wu^2)+b^2(uv+vw+wu)
+2ac(u^2+v^2+w^2)+2bc(u+v+w)+3c^2

=a^2(b^2-2ac)+ab(3c-ab)+2ac(a^2-2b)-2abc+b^3+3c^2

=b^3+3c^2-3abc

pqr=21c^2+4ca^3-12abc+2(b^3+3c^2-3abc)=27c^2+4a^3c+2b^3-18abc

F=m^3-(p+q+r)m^2+(pq+qr+rp)m-pqr

=m^3-a^2m^2+(-3b^2+2a^2b)m-(27c^2+4a^3c+2b^3-18abc)

=-2b(a^2-2b)^2+b(a^2-2b)(2a^2-3b)-27c^2-4a^3c-2b^3+18abc

=-4b^3+a^2b^2-4a^3c-27c^2+18abc

お礼

詳しく書いてくださってありがとうございます！
今計算してみたところ、目的の式変形を得ることができました。

プリントでは一行しかないのですが、その裏にはこんなにも計算が必要だったのですね...。
もっと数学を勉強していきたい気持ちになりました。

回答No.1

Tacosan

何が「天下り的に」与えられているんですか?

この変形そのものは「努力と根性」だけですよ.