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数学 対称式

  • 質問No.7206706
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お礼率 67% (90/134)

x=1-√3,y=1+√3のとき,y/x+x^2+y^2+x/yの値を求めよ。
という問題でy/x+x^2+y^2+x/y=(y^2+x^2/xy)+x^2+y^2={1+(1/xy)}{( x+y)^2-2xy}という途中式が有りまして、
{(x+y)^2-2xy}この式は基本対称式を利用してx^2+y^2が{(x+y)^2-2xy}に変形したと分かるのですが、(y^2+x^2/xy)が{1+(1/xy)}この式に、どうやって変形したのかが分かりません。詳しく細かく教えて下さい。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.6
  • ベストアンサー

ベストアンサー率 32% (1713/5326)

数学・算数 カテゴリマスター
>一応、答えが4になったのですが無理やり4にした感じで解き方が合っているか再回答お願いできませんでしょうか。
>={-[2^2-2・(-2)/2]}+2^2-2・(-2)

[ の直前のマイナスがどこから出てくるのかわかりません。
また、
[ と ] のところの計算というか、カッコの付け方が正しくないのではないでしょうか。

>(((x+y)^2-2xy)/xy)+(x+y)^2-2xy

これに忠実に従ってみると、
(((2)^2-2(-2))/(-2))+(2)^2-2(-2)
=((4+4)/(-2))+4+4
=(8/(-2))+8
=-4+8
=4
お礼コメント
jagatMjh

お礼率 67% (90/134)

やっぱり違いましたか。回答、載せて頂き有り難う御座いました。
投稿日時:2011/12/25 11:03

その他の回答 (全6件)

  • 回答No.7

ベストアンサー率 33% (1/3)

#4です。

>与式の
>x^2+y^2+(x^2+y^2)/xyが(1+1/xy)(x^2+y^2)このように、どうゆう計算をしたら出るのでしょう
>か。皆さんの回答を見ると突然、自分の知りたい式が出てるという感じでして、詳しく教えて下さい。

x^2+y^2+(x^2+y^2)/xy・・・(3)から
(1+1/xy)(x^2+y^2)・・・(4)への変形ですね。

(3)の前半と後半にx^2+y^2が共通してあることには気付いてもらわないといけません。
そうすると、因数分解の要領で、(3)式は、

x^2+y^2+(x^2+y^2)/xy=(x^2+y^2)*1+(x^2+y^2)/xy
=(x^2+y^2)*(1+1/xy)

と簡単に(4)と一致することがわかります。

よろしくお願いいたします。
お礼コメント
jagatMjh

お礼率 67% (90/134)

なる程、やっと解くことが出来ました。
有り難う御座いました!
投稿日時:2011/12/25 11:02
  • 回答No.5

ベストアンサー率 64% (697/1085)

x=1-√3,y=1+√3のとき,y/x+x^2+y^2+x/yの値を求めよ。
という問題でy/x+x^2+y^2+x/y=(y^2+x^2/xy)+x^2+y^2={1+(1/xy)}{( x+y)^2-2xy}という途中式が有りまして、
{(x+y)^2-2xy}この式は基本対称式を利用してx^2+y^2が{(x+y)^2-2xy}に変形したと分かるのですが、
>(y^2+x^2/xy)が{1+(1/xy)}この式に、どうやって変形したのかが分かりません。

y/x+x^2+y^2+x/y
=((y^2+x^2)/xy)+(x^2+y^2)
(x^2+y^2)をくくりだして
=(x^2+y^2){1+(1/xy)}
基本対称式を利用してx^2+y^2={(x+y)^2-2xy}に変形して
={1+(1/xy)}{( x+y)^2-2xy}

x=1-√3,y=1+√3のとき,y/x+x^2+y^2+x/yの値 を求めるのが目的なら、
直接代入した方が簡単なのではないでしょうか?

y/x=(1+√3)^2/-2, x/y=(1-√3)^2/-2 
x^2=(1-√3)^2, y^2=(1+√3)^2 なので、
y/x+x^2+y^2+x/y
=(1/2){(1-√3)^2+(1+√3)^2}
=(1/2){4-2√3+4+2√3)
=4
お礼コメント
jagatMjh

お礼率 67% (90/134)

やっと解くことが出来ました。有り難う御座いました。
投稿日時:2011/12/25 11:06
  • 回答No.4

ベストアンサー率 33% (1/3)

対称式の出題の際には、与えられた条件の性質を見るところからスタートした方がよいでしょう。

今回の場合、

(1).x+y=2
(2).xy=-2

がすぐにわかります。そこで、問題の式と比べる訳ですが、(1)、(2)から
x^2+y^2は簡単に求まることがわかります。
jagatMjh さんも出されてますので省略します。

さて、残る部分は通分を行います。

y/x+x/y=y^2/xy+x^2/xy
=(x^2+y^2)/xy

もうお分かりですね。与式はこの式とx^2+y^2の合計なので、

与式=x^2+y^2+(x^2+y^2)/xy
  =(1+1/xy)(x^2+y^2)

となります。

ご不明な点があれば、ご連絡ください。

よろしくお願いいたします。
補足コメント
jagatMjh

お礼率 67% (90/134)

与式の
x^2+y^2+(x^2+y^2)/xyが(1+1/xy)(x^2+y^2)このように、どうゆう計算をしたら出るのでしょうか。皆さんの回答を見ると突然、自分の知りたい式が出てるという感じでして、詳しく教えて下さい。
投稿日時:2011/12/24 18:34
  • 回答No.3

ベストアンサー率 32% (1713/5326)

数学・算数 カテゴリマスター
>自分が思うにy^2+x^2をx^2+y^2とみて(x+y)^2-2xyとしては、いけないのではないでしょうか。

何をおっしゃっているのかわかりません。
(yの2乗)+(xの2乗)

(xの2乗)+(yの2乗)
と等しいことは、加法の交換法則に照らして自明です。

(((x+y)^2-2xy)/xy)+(x+y)^2-2xy

x+y=2, xy=-2

>代入したのですが、答えが4になりません。どこが間違っているのでしょうか。

慎重に計算し直してください。
補足コメント
jagatMjh

お礼率 67% (90/134)

何度も何度もスミマセン(;_;)

一応、答えが4になったのですが無理やり4にした感じで解き方が合っているか再回答お願いできませんでしょうか。

回答
{(x+y)^2-2xy/xy}+(x+y)^2-2xy

={-[2^2-2・(-2)/2]}+2^2-2・(-2)

={-(4+4/2)}+8

={-(4+4/2)}+(-16)/(-2)

={-(8/2)}+16/2

=8/2

=4
投稿日時:2011/12/24 19:55
  • 回答No.2

ベストアンサー率 44% (1487/3332)

P=y/x+x^2+y^2+x/y
を求める。
Pxy=y^2+xy(x^2+y^2)+x^2
=(x^2+y^2)(1+xy)

x,yha
0でないので
P=(x^2+y^2)(1+1/xy)

x=1-√3,y=1+√3

より

x+y=2, xy=-2
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=8

P=8(1-1/2)=4
お礼コメント
jagatMjh

お礼率 67% (90/134)

有り難う御座いました。
投稿日時:2011/12/25 11:07
  • 回答No.1

ベストアンサー率 32% (1713/5326)

数学・算数 カテゴリマスター
>x=1-√3,y=1+√3のとき,y/x+x^2+y^2+x/yの値を求めよ。

>途中式が有りまして、

そういう式を使わなくても、

y/x+x^2+y^2+x/y
=((x^2+y^2)/xy)+(x+y)^2-2xy
=(((x+y)^2-2xy)/xy)+(x+y)^2-2xy

ここで、
x+y=2, xy=-2
を代入すればすむ話ではないでしょうか。
補足コメント
jagatMjh

お礼率 67% (90/134)

代入したのですが、答えが4になりません。どこが間違っているのでしょうか。
{(x+y)^2-2xy/xy}+(x+y)^2-2xyに代入した所、2^2-2・(-2)+2^2-2・(-2)/-2=4+4+4+4/-2=-8になってしまいます。自分が思うにy^2+x^2をx^2+y^2とみて(x+y)^2-2xyとしては、いけないのではないでしょうか。
投稿日時:2011/12/24 14:20
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