数学の問題です…(最後です)

質問

(1)A君、Bさん、C君、Dさんの4人が相撲をした。
4人とも他の3人と1回ずつ当たったが、2回した人もいる。
結果はA君は1勝2敗、Bさんは3勝0敗、C君は0勝4敗だった。
このとき、Dさんは何勝何敗だったか。

(2)現在、ある家族4人の年齢の和は72歳である。
父は母より5歳年上で、父と長女の年齢の和は母と次女の年齢の和よりも8歳多い。
5年前、家族4人の年齢の和は54歳であった。
現在の母の年齢は何歳か。

答え、
(1)3勝1敗
(2)29歳

これらの問題がわからなくて困ってます。
どなたか途中式か解説の方よろしくお願いします(>_<)

回答No.4

shuu_01 · ベストアンサー

(2)
現在、父、母、長女、次女の年令を各々 a、b、c、d 歳とします

a＋b＋c＋d ＝ 72　(1)
a＝b＋5　(2)
a＋c＝b＋d＋8　(3)

となります。５年前の家族の合計は 72ー5×4 ＝ 72 歳のはず、、、

なのに 72歳ということは、次女が現在３歳で５年前は
生まれていなかったということになります
（「家族4人の年齢の和は54歳であった」っちゅうの変だけど）

d ＝ 3　(4)

の連立方程式を解くと

a ＝ 34、b＝29、c＝6、d＝3 となります

【答え】現在、母の年令は 29歳

お礼

わかりやすいです、助かりました！
ありがとうございました！^^

回答No.5

noname#195146

>(1)A君、Bさん、C君、Dさんの4人が相撲をした。
>4人とも他の3人と1回ずつ当たったが、2回した人もいる。
>結果はA君は1勝2敗、Bさんは3勝0敗、C君は0勝4敗だった。
>このとき、Dさんは何勝何敗だったか。

　引き分けはないとします。誰が誰と何回対戦しても、勝った回数の合計と負けた回数が等しくなることに注意しましょう。

　Dさんがx勝y敗だとします。残りのA君、Bさん、C君の勝敗数から

　1+3+0+x＝2+0+4+y
∴4+x＝6+y
∴x＝y+2　―(1)

　xとyはどちらも0を含む自然数です。しかし、これだけではxとyは求められません。無数にありますもんね。

　そこで、試合回数の合計を推測してみます。勝ちと負けを足した回数、つまり相撲をした回数が一番多いのはC君です。4回ですね。そこで仮に、

　x+y＝4　―(2)

と置いてみます。(1)と(2)を連立一次方程式として説いてみます。(1)を(2)に代入すれば、

　(y+2)+y＝4
∴2y+2＝4
∴y＝1

　これを使うと、(1)でも(2)でも、x＝3と求まります。Dさんが3勝1敗ならよさそうです。でも他にも答があるかもしれません。そこも考えておく必要があります。

　Dさんが3勝1敗ならD君が相撲をしたのは4回です。Cさんも4回なので、この二人は2回相撲をしたと分かります。

　ここで、A君、Bさん、C君を一組にまとめて考えてみます。その勝敗数を勝ち負けそれぞれで合計すれば、4勝6敗です。それにD君の勝敗数をそれぞれ足すと、勝ちの数と負けの数は等しくならねばなりません。

　なぜなら、誰かが勝つときは誰かが負けるのですから、相撲1回ごとに勝った数の全員の合計も、負けた数の全員の合計も1ずつ増えるからです。

　さらにそのことから、全員の勝敗数の勝ちと負けの合計は、相撲した数の2倍になることが分かります。もっと少ない数で考えると分かるはずです。二人で相撲して、一方が1勝1敗なら、もう一方も1勝1敗、合計で2勝2敗、2+2＝4ですが、相撲は2回です。0勝2敗でも同じことです。人数が増えても、相撲の回数が増えても同じことです。

　さらに、4人のうち3人の勝ち負けの数の半分が、残る1人の相撲した回数にもなります。

　Dさん以外の勝敗数は合計で4勝6敗なのでした。合計で10回ですが、勝つ人が出れば必ず負ける人が出るのですから、相撲5回分です。もしD君が3勝1敗なら、相撲4回です。A君・Bさん・C君同士でも相撲するのですから、1回分はD君以外の分だとして、あり得ることになります。

　Dさんがもっと相撲をしたとします。式(1)から勝った回数は負けた回数より2回多いのは分かります。だから、可能性のあるのは、4勝2敗、5勝3敗、…ということですね。しかし、4勝2敗なら相撲6回となって多過ぎます。A・B・C合わせた相撲の回数の5回より多くなってしまいます。

　D君が独り相撲をしない限り、無理ですし、引き分けがないなら、勝つと同時に負けなければならず、無理です。もっと多くしても、同じく無理です。

　ですので、D君は3勝1敗で、それ以外はあり得ないと分かります。

　以上、全員の相撲した回数をzと置いて解けばきちんと数学で求められそうですが、説明で試みてみました。

>(2)現在、ある家族4人の年齢の和は72歳である。
>父は母より5歳年上で、父と長女の年齢の和は母と次女の年齢の和よりも8歳多い。
>5年前、家族4人の年齢の和は54歳であった。
>現在の母の年齢は何歳か。

　変数をアルファベットにしてもいいのですが、父、母、長女、次女を変数にしてしまいましょう。

>現在、ある家族4人の年齢の和は72歳である。

父+母+長女+次女＝72　―(1)

>父は母より5歳年上で、

父＝母+5　―(2)

>父と長女の年齢の和は母と次女の年齢の和よりも8歳多い。

父+長女＝母+次女+8　―(3)

>5年前、家族4人の年齢の和は54歳であった。

父-5+母-5+長女-5+次女-5＝54
∴父+母+長女+次女＝74　―(4)

　これで一次方程式が4つできました。変数は、父、母、長女、次女の4つですから、方程式が4つあれば普通は解けます。でも、この場合は解けないのです。なぜなら、(1)から(4)を両辺引いてみると、

　父+母+長女+次女＝72　―(1)
－父+母+長女+次女＝74　―(4)
――――――――――――――
0＝-2

という成り立たない式が出てくるからです。しかし、この-2は何かということですね。それは、式(4)においては次女が-2歳と考えればいいのです。5年前にマイナス2歳、つまり生まれる2年前だったのです。するとその5年後の現在は、

次女＝-2+5＝3（歳）―(5)

です。これで、残りの3人に対して式が3つになり、解けるようになりました。

　解いてみると、母だけでなく（お示しの答通りになる）、残る全員の年齢も計算できます。普通の連立一次方程式ですので、難しくはないと思いますが、もし詰まったり、計算が合わないようなら、補足欄にて仰せつけください。

お礼

詳しい解説をありがとうございました^^
解説として文字だと凄いわかりやすいです！

回答No.3

asuncion

(1)は#1さんのとおりですね。
あたくしの回答は深読みしすぎ。

回答No.2

asuncion

(1)
全員の勝ちの合計 = 全員の負けの合計
である。
A～Bの勝敗の合計は4勝6敗であるから、
Dは2つ勝ち越したことになる。
例えば、
2勝0敗
3勝1敗
4勝2敗
...

2勝0敗は、2人としか対戦していないので、題意に反する。
また、4勝2敗またはそれより多い対戦数は、

＞他の3人と1回ずつ当たったが、2回した人もいる

という条件に反する（本当かな？）。
よって、3勝1敗。

(2)
本来、5年間で4人が年齢を重ねると20歳増えるはず。
ところが、実際には18歳しか増えていない。
これは、次女が初めの2年間歳を取っていない（つまり生まれてないってこと）なので、
次女の現在の年齢は3歳である。
父 = 母 + 5 ... (1)
父 + 長女 = 母 + 次女 + 8 = 母 + 11 ... (2)
(2) - (1)より、長女 = 6
長女 + 次女 = 9であるから、
父 + 母 = 72 - 9 = 63 ... (3)
(1)と(3)より、
母 + 母 + 5 = 63
2母 = 58
∴母 = 29歳

お礼

たくさんの質問お答えいただきありがとうございました！^^

回答No.1

shuu_01

(1)　
A君は 1勝2敗 の３回
B君は ３勝０敗 の３回
C君は ０勝４敗 の４回 相撲をしています

A君と B君は残りの３人と１回ずつ当たっていますが、
C君は誰かと２回 当たったことになり、
A君、B君ではないので、D君と２回 当たったことになり、
Ｄ君は４回 相撲したとわかります

Ａ君、Ｂ君、Ｃ君、合計すると４勝６敗です
D君も合わせた勝ち、負けは等しくなるはずなので、
D君は２つ勝ち越しています

したがって、D君は ３勝１負となります