数学の問題です！

質問

a>b>0,c=√a^2-b^2とする。 ２点（ｃ、０）と（－ｃ、０）からの距離の和が２ａとなる点の軌跡が、だ円x^2/a^2+y^2/b^2=1となることを示せ。

よくわからないので至急回答お願いします(:_;)

回答No.3

alice_44

末尾の部分に書き違いあり。恐縮

x^2 + y^2 を、(b^2){ (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) } + (c^2)(x^2)/(a^2)
と分解してみれば、示せるでしょう。

回答No.2

alice_44

A No.1 の計算によって、問題の図形が
その楕円の一部または全部の弧からなる
ことが解ります。
後は、楕円の全部が軌跡に含まれる
ことを示せば完了です。

いわゆる「十分性の確認」ですね。
やり方は、いろいろあります。

得られた楕円上の任意の点について、
二点からの距離の和を求めて、
実際に = 2a になっていることを示してもよいし、

A No.1 の計算手順であれば、
二度目に両辺自乗する直前の右辺が、
楕円上では常に正であることを
示せば足ります。
xx + yy を、bb(xx/aa + yy/aa) + cc(yy/aa) と
分解してみれば、示せるでしょう。

回答No.1

info22_

距離の和が2aとなる点の座標を(x,y)とすれば
　√{(x-c)^2+y^2}+√{(x+c)^2+y^2}=2a

後は計算ミスをしないように単純に計算するだけです。

両辺自乗
　{(x-c)^2+y^2}+{(x+c)^2+y^2}+2√{(x-c)^2+y^2}√{(x+c)^2+y^2}=4a^2
式整理
　2(x^2+c^2)+2y^2+2√{(x-c)^2+y^2}√{(x+c)^2+y^2}=4a^2
2で割って√以外の項は右辺へ
　√{(x-c)^2+y^2}√{(x+c)^2+y^2}=2a^2-x^2-y^2-c^2
c^2=a^2-b^2を代入して、両辺自乗
　{(x-c)^2+y^2}{(x+c)^2+y^2}={a^2+b^2-(x^2+y^2)}^2
　(x^2-c^2)^2+y^4 +2(x^2+c^2)y^2=(a^2+b^2)^2+(x^2+y^2)^2-2(a^2+b^2)(x^2+y^2)
　c^4-2c^2(x^2-y^2)+(x^4+2x^2y^2+y^4)=(a^2+b^2)^2+(x^2+y^2)^2-2(a^2+b^2)(x^2+y^2)
　(a^2-b^2)^2-2(a^2-b^2)(x^2-y^2)=(a^2+b^2)^2-2(a^2+b^2)(x^2+y^2)
x,yの項を左辺、定数項を右辺に移項
　4b^2x^2+4a^2y^2=4a^2*b^2
両辺を4a^2*b^2(≠0)で割って
　x^2/a^2+y^2/b^2=1