自分の解答が、なぜ間違っているかが分からない

質問

数学の問題で、確実に解けなければならないのに解けないです。
自分の解答のどこが、なぜ間違っているかが分からないです。
ここの問題の第１問目です。
http://nyushi.yomiuri.co.jp/14/sokuho/kumamoto/zenki/sugaku_i/mon4....

自分の解答

a>2、y=2/sin2x、（0<x<π/2）
2/a=sin2xより、tan2x=2/√（a^2-4）…(1)
tan2x=2tanx/(1-tanx^2)…(2)
(1)、(2)より、2tanx/(1-tanx^2)=2/√（a^2-4）
tanx=kとおくと、2k=2(1-k^2)/√（a^2-4）
0=-2k^2-2k√（a^2-4）+1
これを解くと、k={-√（a^2-4）±a}/2
0<α<β<π/2
より、tanα={-√（a^2-4）-a}/2、tanβ={-√（a^2-4）+a}/2
と、解答を出しました。

予備校の正解は、tanα={a-√（a^2-4）}/2、tanβ={a+√（a^2-4）}/2となっています。
この解答のどこがどのように間違ったのか、なぜ間違ったのか、間違わないための注意点など教えてください。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
リンクが切れているようですが、ここですね。
http://nyushi.yomiuri.co.jp/14/sokuho/kumamoto/zenki/sugaku_i/mon4.html

(1式)のところでは、±をつける必要があります。
cos(2x)＝±√(1-sin^2(2x))としなければなりません。

というのも、そもそも 0＜ x＜ π/2なので、sin(x)も cos(x)も正になっています。
よって、tan(x)も正です。
結果、tan(x)＝ kと置いた 2次方程式自体が 2とおりの式となり、
合計 4つ得られる解のうち k＞ 0を満たす 2つだけが答えとなります。

もしかすると、質問者さんのような誤答を見越して出された問題なのかもしれませんね。

参考URL：

http://nyushi.yomiuri.co.jp/14/sokuho/kumamoto/zenki/sugaku_i/mon4.html

お礼

実際に計算してみたら、ご指摘の通りでした。tanの置き方に罠があったとは・・・。ありがとうございました。