Oを含む開区間Iで定義された微分可能な関数f(x)が以下を満たしている
Oを含む開区間Iで定義された微分可能な関数f(x)が以下を満たしているとする。
(i) x,y,x＋yがIの要素であるとき、(1-f(x)f(y))f(x＋y)=f(x)＋f(y)
(ii) f'(0)=1
このときf(x)を求めなさい。また最大区間Iを定めよ
(解)
f(x)f(y)≠1として (i)からf(x＋y)=(f(x)＋f(y))/(1-f(x)f(y))より
f(x)=tanαx が解だというのが分かる。但しαは実定数。このときf'(x)=α/(cosαx)^2で
(ii)より α=1 つまりf(x)=tanxとなる。
ここで(i)(ii)を満たすようなf(x)は一意的にf(x)=tanxで定まっていることを示す。
そのためにf(x)=k(x)tanxとおく。
(i)に代入して整理すると
tanx(k(x＋y)-k(x))＋tany(k(x＋y)-k(y))＋tany(tanx)^2k(x)(1-k(x＋y)k(y))
＋tanx(tany)^2k(y)(1-k(x)k(x＋y))＝0
{tanxの係数：k(x＋y)-k(x) tanyの係数：k(x＋y)-k(y)
tany(tanx)^2の係数：k(x)(1-k(x＋y)k(y))
tanx(tany)^2の係数：k(y)(1-k(x)k(x＋y)) }
ここでx,yはI上任意の実数なのでtanx、tany、tany(tanx)^2、tanx(tany)^2は全て一次独立である。 よって各係数が0となるk(x)を考えればよい。
tanxの係数とtanyの係数からk(x)=k(y) さらに
tany(tanx)^2の係数により、k(x)(1-(k(x))^2)=0
これを解くとk(x)の求める値は定数関数0,1,-1のいずれかにしかならない。
k(x)=0のとき f(x)=0でf'(x)=0 (ii)に適さない
k(x)=-1のとき f(x)=-tanxで f'(x)=-1 これも(ii)に適さない
k(x)=1のとき f(x)=tanxでこれは(i)(ii)を満たす解である。
したがって一意的にf(x)=tanxに定まっていることが示せた。
また最大区間Iは(-π/2,π/2)である。
数学検定1級の過去問です。模範解答はない。今度数学検定1級を受けるので
この問題で今のように書くとどれくらいの評価が得られるかお願いします。
お礼
回答ありがとうございます。 間違いを正していただき感謝してます。この解法とてもわかりやすかったです。