２００９年横浜市立大学入試、微分方程式と複比の奇妙な関係

質問

２００９年 横浜市立大学 前期 数学入試問題　第四問
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/yokohamashiritsu/zenki/sugaku/mon4.html

φ'(x)=a(x)+b(x)φ(x)+c(x)φ(x)^2
の異なる解をφ_1,φ_2,φ_3とすると、
複比(φ,φ_1,φ_2,φ_3)=一定
となるそうなのですが、その背景がまったくわかりませんので教えていただけないでしょうか？

微分方程式は解析の分野の用語で、複比は射影幾何の不変量で、まったく関係はなさそうなのですが、このような奇妙な関係の理由はなんなのでしょうか？

入試の(3)の答えは、元の微分方程式の一般解なのでしょうか？

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

リンク先のサイトが開けないのですが…
質問文を見るかぎり、その話は
少し変です。

三個の解の複比が一定(xに依らない)
であれば、その三個は、
定係数で一次従属になります。
しかし、
Φ = p Φ_1 + q Φ_2 (p,qは定数)
を、もとの方程式に代入してみると、
そのような p,q は限られている
ことが判ります。

この方程式の解は、有限個
なのでしょうか？

お礼

2009年横浜市立大学（前期）数学問題

で検索して、第四問をみていただければと思います。
複比一定なので、一次従属という概念とは異なります。

回答No.11

wloop

アドバイスではないですが、

ロンスキアンが二つの関数が作るベクトルの掃く面積の
変化になってるんですね。面白いと思います。
物理でいう、原点周りの角運動量と同じ式です。
二つ目のお話は、同じこといってるんだと思いますが、
線形方程式側の基底の変換に対応する線形変換は
リカッチ方程式側では解空間の射影変換をひき
おこすようになってますね。
他にも色々ありそうです。
いろいろ試して構造がどうなってるかみて
みるのはおもしろそうですね。

面白いお話ありがとうございました。

お礼

ありがとうございました。

回答No.10

wloop

アドバイスではないですが…

回答の回数が多くなったのでまとめるとリカッチ方程式と
複比一定の直接の関係は#5,#6でだいたいいいと思います。

#9のアドバイスは#8の「この回答へのお礼」の欄に書か
れているご質問へのものとなっております。なお
「射影変換は射影空間の３点の変換で決まり」は
１次元の話でn次元ではn+2点で決まるとしてください。

新たな#8の「この回答への補足」の欄にあるご質問
については、

解と解空間の幾何とをむすびつけて解釈するというのは
対応する解空間である線形空間や射影空間の幾何の話
になると思うので、その空間のどの性質に着目するか
（質問者様が#8で触れられているようにこれら空間に
作用する特定の変換群に着目するとか）によって変わっ
てくると思います。

線形微分方程式、リカッチ方程式の解とその解の空間
については質問者様の#3,#8におけるご説明,及び
#8,#9の回答で対応づいていると思いますので
解と解空間の幾何の対応付けはみつけやすいのでは
と思います。何かおもしろい性質が見つかれば
お教えくだされば嬉しいです。

一次従属が角度の関係に対応してるのはおもしろい
ですね。ロンスキアンについては#3の回答する際、
複比をロンスキアンであらわすのを試してみました。
簡単な計算でxに依存する部分が丁度打ち消しあって
xによらないことが示せたように思います。

お礼

本当に何度もありがとうございます。

>解と解空間の幾何の対応付けはみつけやすいのでは
と思います。何かおもしろい性質が見つかれば
お教えくだされば嬉しいです。

たとえば、2つの関数f_1(x)とf_2(x)が一次独立ということは、ロンスキアン
|f_1(x) f_2(x) |≠0
|f_1'(x) f_2'(x)|
ということですが、これを幾何的に解釈すると、
時間xとともに動く点(f_1(x),f_2(x))が原点の方向へは移動しない、
つまり、
(f_1(x),f_2(x))と接線方向(f_1'(x),f_2'(x))は平行でない、
もしくは、
(0,0)と(f_1(x),f_2(x))と(f_1(x+Δx),f_2(x+Δx))=(f_1(x)+f_1'(x)Δx,f_2(x)+f_2'(x)Δx)とでできる微小面積は0でない、
と言う意味になると思います。

平面幾何の性質（主に三角形とか円の性質を想定）では、座標を与えて考えるほかに、長さを考えても、角度を考えても、理論展開できると思います。
ロンスキアンは座標による意味だとすると、グラミアンは長さによる意味、あと角度による意味の何かにも対応できると思います。

リッカチ方程式の解と、解空間の射影直線とは、ある一次分数変換でつながっているという記述は、２階の線形微分方程式の解と、解空間の2次元ベクトル空間とは、ある基底変換でつながっているという記述に対応できると思うようになりました。

すべてが妄想なので、今後もっと勉強していきたいです。

回答No.9

wloop

φ(x)=(φ_1，φ_2，φ_3のニ次式)/(φ_1，φ_2，φ_3の一次式)
を、リンクの最後の式から二番目にある式、つまり
φ_i(i=1,2,3)できまるkの一次分数変換とみてはどうでしょう？
そうするとφは射影空間の点[k:1]と射影変換を通じて対応
してますね。なお、kと#3で述べたCも同様にC_iできまる
射影変換で結びついていますのでkとC(つまり[A:B])の間の
対応もつきます。

#3,#5でみたようにxを時間と思うとφの時間発展は射影変換
で与えられます。射影変換は射影空間の３点の変換で決まり
ますので、それに対応してφ_i(i=1,2,3)が決まれば
対応する変換が決まるということになってると思います。

>解がどんな変換で閉じているのかとか、不変量はなにかなども
>不明です。

これについては、解空間の性質は射影空間の持つものは
成り立つのではないでしょうか？

回答No.8

wloop

アドバイスではないですが…

お礼いただきありがとうございます。
そんなに深く理解してるわけではありませんので…

>これらのこととの対応を考えると、リッカチ型
>微分方程式の解空間は何にみなせるのでしょうか？

解空間ていうのは、解のパラメータの空間みたいな
ものでしょうか？#3の話だとパラメータは定数A,Bの
比ですから実射影直線ですよね？

>指数、分数の次には、平方根に関係するものが出てくる
>のでしょうか

どうなんでしょう？そうかもしれません。３乗の項まで
入れるとベクトル場は閉じなさそうですね。

>リカッチ方程式の解が初期値の一次分数変換（射影変換）
>の形で書けているとのことですが、リッカチ型微分方程式
>の解空間は射影空間とみなせるわけではないのですよね。

これはどうしてみなせないのか理由がよくわかりませんで
したのでよろしければその理由をもう少し教えていただけ
れば嬉しいです。

お礼

いつもまことにありがとうございます。
斉次の2階線形微分方程式の言葉とリッカチ型微分方程式の言葉とをうまく対応できるように整理していきたいのです。

斉次の2階線形微分方程式
φ''(x)+a(x)φ'(x)+b(x)φ(x)=0
の一般解は、
φ(x)=A・φ_1(x)+B・φ_2(x)
（ただし、φ_1(x)、φ_2(x)は二つの独立な解）
という形にかける。
その一般解を、係数の組(A,B)と一対一対応させると、2次元ユークリッド空間（ユークリッド平面）とみなせる。
また、解空間は公理的に定義された2次元ベクトル空間とみなせる。
つまり、微分方程式の解は、和と実数倍に関して閉じていて、いくつかの公理をみたしている。内積も定義し、2つの解の間の距離の概念や角度の概念を付け足しておく。
そして、平行移動，回転，鏡映，相似という変換で、2つの解の間の距離の比などは不変。
微分方程式のある異なる解をφ_1,φ_2、任意の解をφとすると、たとえば
∠（φ-0-φ_1）-∠（φ-0-φ_2）＝一定

リッカチ微分方程式
φ'(x)=a(x)+b(x)φ(x)+c(x)φ(x)^2
の一般解は、No.3によると、
φ(x)=-(A・f1'(x)+B・f2'(x))/(c(x)・(A・f1(x)+B・f2(x)))。
（ただし、f1(x)、f2(x)は別の微分方程式の独立な解）
という形にかけるとのことでした。
その一般解を、係数の比(A：B)と一対一対応させると、1次元実射影空間（射影直線）とみなせるかもしれません。
でも、リッカチ微分方程式の一般解を、それ自身の独立な特殊解を用いて書くと、
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/yokohamashiritsu/zenki/sugaku/kai4.html
（リンクが見れなければ、2009年横浜市立大学（前期）数学問題
で検索して、第四問の答えをみていただければと思います。）
の最終行にあるように、
φ(x)=(φ_1，φ_2，φ_3のニ次式)/(φ_1，φ_2，φ_3の一次式)
（ただし、φ_1，φ_2，φ_3は自身の独立な解）
という形にかけるとのことでした。
これを、射影空間とみなせるのかどうか、一対一に対応できるのかどうかは不明です。
また、解がどんな変換で閉じているのかとか、不変量はなにかなども不明です。
リッカチ微分方程式のある異なる解をφ_1,φ_2，φ_3、任意の解をφとすると、
複比(φ,φ_1,φ_2,φ_3)=一定
ということはわかっています。

補足

先ほど書いたお礼の内容はとんちんかんなことを書いたみたいで、少し考え直しました。

斉次の2階線形微分方程式の言葉とリッカチ型微分方程式の言葉とをうまく対応できるように整理していきたいのです。

リッカチ微分方程式
φ'(x)=a(x)+b(x)φ(x)+c(x)φ(x)^2
一般解はφ(x)=-(C・f1'(x)+f2'(x))/(c(x)・(C・f1(x)+f2(x)))
（ただし、f1(x)、f2(x)は別の微分方程式の一次独立な解）
この形はパラメータCを一次分数変換した形。
一次分数変換は、それを2x2行列に対応させたとき、行列式≠0でなければならないが、ここでは、f1(x)、f2(x)が一次独立なため、そのロンスキアン≠0となり適している。
ある3つの解φ_i(x)に対応するCをC_iと書くと、複比は一次分数変換に対して不変であるから、任意の解φ(x)に対し、
(φ,φ_1,φ_2,φ_3)=(C,C_1,C_2,C_3)=一定
つまり、
(d/dx)(φ,φ_1,φ_2,φ_3)=0

斉次の2階線形微分方程式
φ''(x)+a(x)φ'(x)+b(x)φ(x)=0
一般解はφ(x)=A・f1(x)+B・f2(x)
（ただし、f1(x)、f2(x)は微分方程式の一次独立な解）
この形は縦ベクトル(A B)に、横ベクトル(f1(x) f2(x))を左からかけた形。
ある2つの解φ_i(x)に対応する(A B)を(A_i B_i)と書くと、、、、
「ここで横ベクトル(f1(x) f2(x))を左からかけて不変な量というものは考えられるのでしょうか？」
ちなみに、任意の解φ(x)に対し、φ,φ_1,φ_2が一次従属という関係式は、
∠（φ-0-φ_1）-∠（φ-0-φ_2）＝一定
もしくは
ロンスキアンW(φ,φ_1,φ_2)=0
もしくは
グラミアンG(φ,φ_1,φ_2)=0
などがあると思います。

回答No.7

wloop

#6の訂正です。何度もすみません。
指数関数の型->指数関数の肩
a^2-4・b・c->b^2-4・a・ｃ
です。

回答No.6

wloop

#5のプレプリントは有限の変換の話でしたが
無限小変換でも同じ話で、方程式の
右辺が一次分数変換を生成するベクトル場
なのでもちろん無限小変換φ(x)->φ(x+dx)
も一次分数変換でかける。
より、複比はその無限小変換で変わらない。

実際、dxが小さくてa(x),b(x),c(x)を定数a,b,c
とみなせるとし、ベクトル場に対応する行列表示を
指数関数の型にのっけて計算すると（a^2-4・b・cの値
で場合わけがおこりますがどの場合も）無限小変換は
dxのオーダーで
φ(x+dx)
=((1+dx・b/2)φ+dx・a)/(-c・dx・φ+(1-dx・b/2))。

回答No.5

wloop

#3です。少し調べてみました。

対称性とはリカッチ方程式の右辺をxに依存するベクトル場と思ったときの
それらベクトル場が生成するものをさすようです。右辺の各項は下のような変換を生成します。
(1)最初の項a(x) <-> a(x)∂_φ：これは並進を生成するφ->φ＋∫a(x)
(2)次の項b(x)φ <-> b(x)φ∂_φ：これはスケール変換を生成するφ->φ・exp(∫b(x))
(3)最後の項c(x)φ^2 <-> c(x)φ^2∂_φ:この変換の名前はわかりませんがφ->φ/(1-φ・∫c(x))
これらの変換はいずれもφの一次分数変換の形に書けます。
∂_φ,φ∂_φ,φ^2∂_φこれらのベクトル場はリー代数sl(2,R)をなします。

代数sl(2,R)に対応する群、特殊線形群SL(2,R)と射影特殊線形群PSL(2,R)との関係は
PSL(2,R)=SL(2,R)/{-1,1}でありPSL(2,R)は実射影直線に一次分数変換として作用する。
このことは英語版wikiのSL_2(R)の項を参照してください。最初のほうに書いてあります。

xを時間と思うとφの時間発展(φの解ですが)は、上の(1)～(3)の変換の積で表せることが
示せるようです。具体的な形はプレプリントサーバーarXiv(http://jp.arxiv.org/)にある
プレプリント：
arXiv:physics/9802041
Carinena J.F., Marmo G. and Nasarre J.
The non-linear superposition principle and the Wei-Norman method
にある式（3.12)対応する(3.13),或いは（3.24）対応する(3.28)等々を参照してください。
積のパターンが数通り示されています。３次元の回転行列の要素をx,y,zそれぞれの軸まわり
での回転の積の形に書くのに似てるでしょうか。なお、3頁の後半から
上に述べたベクトル場がsl(2,R)の生成子とみなせること、SL(2,R)が
一次分数変換として実射影直線に作用することが軽くふれられています。
#3の最後で「よくわかりません」と書きましたが、これにより直接、方程式の形
から解がある定数を一次分数変換した形になることがいえたことになります。

以上、微分方程式と複比の関係は次のように言うことができると思います。
リカッチ方程式が一次分数変換（射影変換）を生成するベクトル場で書けていることから、
解が初期値の一次分数変換の形で書け、それゆえ複比はxによらずその定数の複比のみによる。

φが上に述べた形をしていれば複比一定はいえるので、たとえば
(1)～(3)の項のうちいずれか或いは複数なくても成立しそうな性質だと思います。

お礼

まことにありがとうございます。
理解は不十分なのですが、並進、スケール変換、一次分数変換（反転みたいなもの？）のように幾何学的な概念と対応しているところがおもしろいと思いました。
例えば、
φ'(x)=a(x)ならばφ(x)=∫a(x)
φ'(x)=b(x)φ(x)ならばφ(x)=exp(∫b(x))
φ'(x)=c(x)φ(x)^2ならばφ(x)=-1/(∫c(x))
φ'(x)=d(x)φ(x)^3ならばφ(x)=1/√(-2∫d(x))
のように指数、分数の次には、平方根に関係するものが出てくるのでしょうか。

リカッチ方程式の解が初期値の一次分数変換（射影変換）の形で書けているとのことですが、リッカチ型微分方程式の解空間は射影空間とみなせるわけではないのですよね。

回答No.4

wloop

#3です。訂正です。#3で
「(ここでs(x)=-f1'(x),t(x)=-f2'(x),u(x)=c(x)・f1(x),t(x)=c(x)・f2(x))」
と書きましたが、４番目の式はt(x)=c(x)・f2(x)ではなくて
v(x)=c(x)・f2(x)に訂正してください。訂正以上です。

φ'(x)=a(x)+b(x)φ(x)+c(x)φ(x)^2はリッカチの微分方程式
といわれるもので２階の線形微分方程式に変形できるのは
よく知られているようです。調べてみると、リッカチの方程式は
別の変数変換で一階の微分方程式にも変換できこれをつかってもφ(x)はある定数を一次分数変換した形に書けることがわかるようです。

複比がでてくるのはリッカチ方程式のもつ対称性が射影変換のなす
群に関係しているものだからみたいです。詳しくはわからないので
もし興味があれば調べてみてください。

回答No.3

wloop

背景の説明になっているかどうかわかりませんが、

φ'(x)=a(x)+b(x)φ(x)+c(x)φ(x)^2を
φ(x)=-f'(x)/(c(x)・f(x))と変数変換すると
対応するf(x)に対する微分方程式は
P(x)f(x)''+Q(x)f(x)'+R(x)f(x)=0
と二階の線形微分方程式になります。
（ここでP(x),Q(x),R(x)はa(x),b(x),c(x)の関数）
f1(x),f2(x)をこの線型微分方程式の独立な解とすると
一般解はその一次結合：f(x)=A・f1(x)+B・f2(x)で
与えられます。A,Bは定数。したがってφ(x)の解は
φ(x)=-(A・f1'(x)+B・f2'(x))/(c(x)・(A・f1(x)+B・f2(x)))。
分母分子をBでわり、A/B=Cとすると
φ(x)=-(C・f1'(x)+f2'(x))/(c(x)・(C・f1(x)+f2(x)))
φ(x)はひとつのパラメータCによります。
この形をよく見てみるとφ(x)はこのパラメータCを
一次分数変換した形になっています。

C->φ(x)=(s(x)・C+t(x))/(u(x)・C+v(x))

(ここでs(x)=-f1'(x),t(x)=-f2'(x),u(x)=c(x)・f1(x),t(x)=c(x)・f2(x))
φ_i(x)に対応するCをC_iと書く、すなわち
φ_i(x)=-(C_i・f1'(x)+f2'(x))/(c(x)・(C_i・f1(x)+f2(x)))とすると
複比は一次分数変換にたいして不変であるから
(φ,φ_1,φ_2,φ_3)=(C,C_1,C_2,C_3)となりxによらないことがわかります。
複比はC,C_iのみできまります。

(3)の式は微分方程式の一般解だとおもいます。

線形微分方程式を経由せず、直接、方程式
φ'(x)=a(x)+b(x)φ(x)+c(x)φ(x)^2の形から、
解がある定数を一次分数変換した形に書けることが
わかるかどうかはよく分かりませんでした。

お礼

まことにありがとうございます。
とても深い内容です。

φ'(x)=a(x)+b(x)φ(x)+c(x)φ(x)^2
の解が、
φ(x)=-(A・f1'(x)+B・f2'(x))/(c(x)・(A・f1(x)+B・f2(x)))。
同じことですが、
φ(x)=-(C・f1'(x)+f2'(x))/(c(x)・(C・f1(x)+f2(x)))
となっているとのことですね。

斉次の2階線形微分方程式
φ''(x)+a(x)φ'(x)+b(x)φ(x)=0
の解は、
φ(x)=A・f1(x)+B・f2(x)
という形にかけて、解空間は線形空間をなす。
非斉次の2階線形微分方程式
φ''(x)+a(x)φ'(x)+b(x)φ(x)=c(x)
の解は、
φ(x)=f0+A・f1(x)+B・f2(x)
という形にかけて、解空間はアファイン空間をなす。

これらのこととの対応を考えると、リッカチ型微分方程式の解空間は何にみなせるのでしょうか？

回答No.2

arrysthmia

リンク先を確認しました。
「複比」ですね。連比じゃなかった。
失礼しました。

その問題なら、小問の誘導に乗る一手でしょう。
複比を x で微分(対数微分が楽です)した後、
(1) の結果を使って式を整理すれば、
(2) まで辿り着けます。
分数式の整理だけです。