解答例のない数学、教えて下さい。

質問

数学ブランク18年、某専門学校の過去問を解いています。
分からない問題が多く、解答例や解説が無いため、苦闘しています。
どなたか、解説と答えを教えてください。
分かるものだけでも助かります。
(1)正数aがa^2-3a-1=0を満たすとき、a^3を求める。
a^3=aa^2=a(3a+1)=Aa+B =C
A、B、Cに入るものを教えて下さい。
(2)濃度9%の食塩水100gに濃度1%の食塩水をＸg加えると、6%の食塩水ができる。→Ｘ=60gで合っていますか？間違えていたら正解と解説をお願いします。
(3)関数y=|2-x|+|5-x|のグラフと直線y=x-1の共有点は、(Ａ,Ｂ)と(Ｃ,Ｄ)
Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄを教えて下さい。できれば求める過程もお願いします。
(4)θを鋭角とする。tanθ=2/√7のとき、sinθとcosθを求めよ。→sinθ=2/√11、cosθ=√7/√11で合っていますか？間違えていたら正解と解説をお願いします。

よろしくお願いします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

(1)正数aがa^2-3a-1=0を満たすとき、a^3を求める。
a^3=aa^2=a(3a+1)=Aa+B=C
A、B、Cに入るものを教えて下さい。
＞a^3=aa^2=a(3a+1)=3a^2+a=3(3a+1)+a=10a+3
a^2-3a-1=0を解いてa=(3±√13)/2、a＞0だから
a=(3+√13)/2、10a+3=10*(3+√13)/2+3=18+5√13
よって、A=10、B=3、C=18+5√13
(2)濃度9%の食塩水100gに濃度1%の食塩水をＸg加えると、6%の食塩水ができる。→Ｘ=60gで合っていますか？間違えていたら正解と解説をお願いします。
＞濃度9%の食塩水100gの構成は食塩9gと水91g。
濃度1%の食塩水Ｘgの構成は食塩0.01Xgと水0.99Xg
2液を混ぜた食塩水の濃度は(9+0.01X)/(100+X)=0.06
これを解いてX=60(g)。正解です。
(3)関数y=|2-x|+|5-x|のグラフと直線y=x-1の共有点は、(Ａ,Ｂ)と(Ｃ,Ｄ)
Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄを教えて下さい。できれば求める過程もお願いします。
|2-x|は2-x≧0すなわち2≧xのとき2-x、2＜xのときx-2
|5-x|は5-x≧0すなわち5≧xのとき5-x、5＜xのときx-5
従ってxの範囲を(ア)x≦2、(イ)2＜x≦5、(ウ)5＜xに区分し、
(ア)x≦2のときy=|2-x|+|5-x|=2-x+5-x=-2x+7・・・・・(1)
(イ)2＜x≦5のときy=|2-x|+|5-x|=x-2+5-x=3・・・・・・(2)
(ウ)5＜xのときy=|2-x|+|5-x|=x-2+x-5=2x-7・・・・・・(3)
(1)(2)(3)のグラフ及びy=x-1のグラフは添付図のようになり、共有点の一つは
(2)y=3とy=x-1の交点、x=y+1=3+1=4から(4,3)、もう一つは(3)y=2x-7とy=x-1
の交点x-1=2x-7、x=6、y=5から(6,5)。
以上から、例えばA=4,B=3,C=6,D=5・・・答
(4)θを鋭角とする。tanθ=2/√7のとき、sinθとcosθを求めよ。→sinθ=2/√11、cosθ=√7/√11で合っていますか？間違えていたら正解と解説をお願いします。
＞tanθ=sinθ/cosθ=sinθ/√(1-sin^2θ)=2/√7
√7sinθ=2√(1-sin^2θ)、7sin^2θ=4(1-sin^2θ)=4-4sin^2θ
sin^2θ=4/11、0＜θ＜π/2だからsinθ=2/√11=(2√11)/11
cos^2θ=1-sin^2θ=1-4/11=7/11、cosθ=√(7/11)=(√77)/11
分母は一般に有理化するようです。
検算{(2√11)/11}/{(√77)/11}=(2√11)/√77=2/√7

お礼

お礼が遅れてしまい、申し訳ありません。
詳しく解説していただいたのに、絶対値についてはなんだかよく分かりません…(>_<)
納得できるまで、解説していただいた計算の過程を繰り返し見直してみようと思います。
本当にありがとうございました。

補足

図を添付して下さってありがとうございます。
でも空白になっていて見れないのです…(>_<)

回答No.3

yyssaa

図を添付して下さってありがとうございます。
でも空白になっていて見れないのです…(>_<)
＞本文を回答した時点で図の添付に失敗したので、
後から添付しました。今現在、図は見えています。
なお、当方のウェブブラウザはInternet Explorer8です。
＞絶対値の定義は以下の通り簡単です。これだけを
しっかり覚えましょう。
A≧0のとき、|A|=A
A＜0のとき、|A|=-A

お礼

二度にわたり、ありがとうございました。
パソコンから確認したら、グラフ見ることができました。
これからじっくり解説を見直そうと思います。
また質問することがあると思います。見かけたらまた教えて下さいm(_ _)m
本当にありがとうございました。

回答No.1

asuncion

(1)
a^3 = a・a^2 = a(3a + 1) = 3a^2 + a = 3(3a + 1) + a = 9a + 3 + a = 10a + 3
∴A = 10, B = 3, C = ???

(2)
食塩の量 = 9 + X/100 = 6(100+X)/100
9 + X/100 = 6 + 6X/100
5X/100 = 3
X = 60

(3)
i)x < 2のとき、| 2 - x | = -x + 2, | 5 - x | = -x + 5より、
y = -2x + 7 …… (1)
y = x - 1 …… (2)
(1)-(2)より、-3x + 8 = 0, x = 8/3
x < 2を満たさないので、x = 8/3は解ではない。よって、解なし。

ii)2 ≦ x < 5のとき、| 2 - x | = x - 2, | 5 - x | = -x + 5より、
y = 3 …… (3)
y = x - 1 …… (4)
(3)(4)より、x - 1 = 3, x = 4
2 ≦ x < 5を満たすので、x = 4は解。このとき、y = 3
∴(4, 3)

iii)5 ≦ xのとき、| 2 - x | = x - 2, | 5 - x | = x - 5より、
y = 2x - 7 …… (5)
y = x - 1 …… (6)
(5)-(6)より、x - 6 = 0, x = 6
5 ≦ xを満たすので、x = 6は解。このとき、y = 5
∴(6, 5)

i)～iii)より、(A, B) = (4, 3), (C, D) = (6, 5)
もしくは(A, B) = (6, 5), (C, D) = (4, 3)

(4)
正しいです。
ただし、分母を有理化して、sinθ = 2√11/11, cosθ = √77/11と書く方が
好まれるかもしれません。

お礼

お礼が遅れてしまい、申し訳ありません。
素早い回答、ありがとうございました。
まだまだ勉強中の身なので、また質問することがあるかと思います。
その時はよろしくお願いします。