2重積分について(改訂版)

質問

y＝１-x^２の第一象限の部分とx軸、y軸で囲まれた図形の重心の座標
正しい答えは(３/８、８/５）です。←この答えは問題集の解答です。
写真は自分なりに解いてみました。(この解法は間違っています）
対象となる図形は写真の左上のような三角形だと思われます。
ｘの範囲は0≦ｘ≦１
それに対応するyの範囲は１から1-x^2だと思うのですが・・・
これで計算しても答えが出ません
yにいたってはマイナスが出てくる始末です。
どうすればいいのでしょうか？
アドバイスをお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

前の投稿URLの
http://okwave.jp/qa/q8499025.html
のANo.2で解答済み

>>正しい答えは(３/８、８/５）です。
>このy座標の8/5は1以上で、重心が図形の外に存在し、明らかに間違いですね。
>正しい重心の座標(xg,yg)は(3/8,2/5) です。
（添付図参照）

>以下、導出計算：
>M=∫[0,1] (1-x^2)dx=[x-(1/3)x^3][0,1]=2/3 ...(★1)
>Mx=∫[0,1] x(1-x^2)dx=[(1/2)x^2-(1/4)x^4][0,1]=1/4
>xg=Mx/M=3/8 ...(★2)
>My=∫[0,1] y√(1-y)dy
>部分積分すると
>=[y(-2/3)(1-y)^(3/2)][0,1]+(2/3)∫[0,1] (1-y)^(3/2)dy
>=0+(2/3)[-(2/5)(1-y)^(5/2)][0,1]
>=(2/3)(2/5)=4/15
>yg=My/M=(4/15)/(2/3)=2/5 ...(★3)
>(答)重心の座標(3/8,2/5) ...(★4)

質問者の画像の解答の間違い箇所
[1]　y=1-x^2のグラフは間違い
　上に凸な放物線なのに直線のグラフを書いているところが間違い
[2]　面積Sは三角形の領域の面積ではない。
　上に凸な放物線下の面積を求めないといけない。
　S=∫[0,1] (1-x^2)dx=M=2/3 ...((★1)参照)
[3]
　xo=2∫[0,1]∫[1,1-x^2] xdydx
２箇所間違い。Sの代入値の間違いとyの積分範囲が間違い。

>それに対応するyの範囲は１から1-x^2だと思うのですが・・・
これが間違い。正しいyの範囲は[0～1-x^2]

>これで計算しても答えが出ません
>yにいたってはマイナスが出てくる始末です。
yの積分範囲が間違っていることが原因。
(積分範囲の下限と上限の大小関係が逆「1>1-x^2」が直接の原因。このことからも積分範囲の間違いに気が付くべきです。）

正しい式は
　xo=(1/S)∫[0,1]∫[0,1-x^2] xdydx, S=2/3
=(3/2)∫[0,1] x[y][0,1-x^2] dx
　　=(3/2)∫[0,1] x(1-x^2)dx
　　=(3/2)[x^2/2-x^4/4][0,1]
　　=(3/2)(1/4)
　　=3/8 =xg ((★2)参照)
[4]
　yo=2∫[0,1]∫[1,1-x^2] ydydx
２箇所間違い。Sの代入値の間違いとyの積分範囲が間違い。

[3]と同様に
>それに対応するyの範囲は１から1-x^2だと思うのですが・・・
これが間違い。正しいyの範囲は[0～1-x^2]

>これで計算しても答えが出ません
>yにいたってはマイナスが出てくる始末です。
yの積分範囲が間違っていることが原因。
(積分範囲の下限と上限の大小関係が逆「1>1-x^2」が直接の原因。このことからも積分範囲の間違いに気が付くべきです。）

正しい式は
yo=(1/S)∫[0,1]∫[0,1-x^2] ydydx, S=2/3
=(3/2)∫[0,1] [y^2/2][0,1-x^2] dx
　　=(3/2)∫[0,1] (1-x^2)^2/2dx
　　=(3/4)[x-2x^3/3+x^5/5][0,1]
　　=(3/4)(1-(2/3)+(1/5))
　　=(3/4)(8/15)
　　=2/5 =yg ...((★3)参照)
重心(xo,yo)=(3/8,2/5)=(xg,yg)...((★4)参照)

>正しい答えは(３/８、８/５）です。←この答えは問題集の解答
参考URLのANo.2の回答に書いたように「問題集の解答」は明らかに間違いです。
添付図の黄色の領域の重心が、領域外の遥か上方の点P(3/8,8/5)に存在するような解答を間違いと気づかないのですか？
正しい重心(xo,yo)の位置A(3/8,2/5)を図中にプロットすると、水色の領域のほぼ中央に位置することから、参考URLのANo.2の解答(xg,yg)(★4)が正しいことが明らかでしょう。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q8499025.html

回答No.1

Dr-Field

y＝１-x^２は二次関数だから、三角形が登場するわけがない。それがつまずきの始まり。