切り口とは??

質問

放物線y = -x(x - 2)とx軸で囲まれた図形の重心の座標を求めよという問題で
yでの切り口の長さが2{1－y}となっていました。{}はルートと考えてください。
いまいち、切り口が何かわかっていません。また、この値はどのようにして
求めたのでしょうか??

回答No.2

debut · ベストアンサー

＞y座標の重心が2/5で図形の対称性より
＞ｘの重心は1と書かれていました。これについて詳しく
＞教えてください。

これについては正直、私に知識がありません。
で、いろいろ検索してみたところ
「一般に閉曲線で囲まれた図形Ｇについて、点(0,y)を
　通るｘ軸に平行な直線が関数g(y)で表されるとき、
　重心のｙ座標は（曲線のｙ座標の最小をα、最大をβ
　とすれば）{∫ｙ*g(ｙ)dy}/{∫g(ｙ)dy}（積分区間は
　いずれもαからβ）となる」
という記述をみつけました。

g(y)=2√(1-y)、α=0,β=1（放物線の頂点が(1,1)より）で
計算すると、
∫ｙ*2√(1-y)dyは
　√(1-y)=tとおくと1-y=t^2なので-dy=2tdt、y=1-t^2、
　また、積分範囲はy=0でt=1、y=1でt=0
　∫ｙ*2√(1-y)dy=∫(1-t^2)*2t*(-2t)dt［1→0]
　　　　　　　　　=∫(4t^2-4t^4)dt［0→1]
　　　　　　　　　=8/15
∫2√(1-y)dyは同じ置き換えで
　∫2√(1-y)dy=4/3
よって、
　{∫ｙ*2√(1-y)dy}/{∫2√(1-y)dy}=(8/15)/(4/3)=2/5
　とｙ座標が求められます。
また、放物線の軸は重心点を含むのですから、放物線y=-x^2+2x
=-(x-1)^2+1で軸がx=1なので、ｘ座標の重心は１になります。

勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.1

debut

ｙでの切り口とは、放物線がｘ軸に平行な直線f(x)＝ｙ
を切り取る長さということですね。
だから、ｙ＝－ｘ(ｘ－２)が成り立つとき（これは、２つの
グラフの交点のｘ座標を求めるという意味）のｘの値を求め、
その差を計算すればいいということになります。
ｙ＝－ｘ^2＋２ｘ
ｘ^2－２ｘ＋ｙ＝０というｘの２次方程式を解きます。
解の公式から
ｘ＝１±√(１－ｙ)
ｘの大きい方(１＋√(１－ｙ))から小さい方を引いて
(１＋√(１－ｙ))－(１－√(１－ｙ))＝２√(１－ｙ)と
なります。

補足

おかげで理解することができました。
追加質問で申し訳ないのですが、y座標の重心が2/5で図形の対称性より
ｘの重心は1と書かれていました。これについて詳しく教えてください。