いびつな図形の重心の求め方を教えてください。重心を求める基本があれば教

質問

いびつな図形の重心の求め方を教えてください。重心を求める基本があれば教えていただけると助かります。大学では微分積分は勉強しました。
問題
直線Y＝X＋2と放物線Y=x^2で囲まれた領域Dの重心を求めよ。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

平面図形の重心は(１次モーメント)/(質量）で定義されます。
(質量)は密度が１の場合は(面積)になります
重心の座標をG(xg,yg)とする。
直線と放物線の交点は2つの方程式を解いて求めるとA(-1,1)とB(2,4)となることから
領域の面積S=∫[-1,2] (X+2-X^2)dX
重心の座標は
xg=∫[-1,2](X+2-X^2)XdX/S
yg={∫[1,4](√Y-(Y-2))YdY+∫[0,1](2√Y)YdY}/S
で求まります。

積分は単純な積分ですから積分は自力で出来ると思いますのでやってみて下さい。

補足

勉強不足でわからないとろがあるのですが、
一次モーメントの求め方は基本となる考えがあると思うのですが、
教えていただけないでしょうか？高校物理でやる力のモーメントと関係がありますか？
もしわかりやすいサイトなどがあれば教えていただけると助かります。

回答No.5

info22_

#2,#3です。

A#2の補足質問について

>一次モーメントの求め方は基本となる考えがあると思うのですが、
>教えていただけないでしょうか？高校物理でやる力のモーメントと関係がありますか？
同じものです。

>もしわかりやすいサイトなどがあれば教えていただけると助かります。
分かりやすいかは、あなたの基礎力次第です。あなたのレベルに合わせてサイトを作ればあなたがそのサイトを卒業したとき必要なくなってしまい不要なサイトになってしまうでしょう。多くのサイトの作者は自身の蓄積した知識や情報をいつでも再利用できるように整理し自分のレベルに合わせて纏めておくのだと思います（備忘録的意味）。折角纏めたものは他人にも公開して何らかの社会的に役立てたい（役立ちたい）とも思うでしょう。なので他人のレベルに合わせるのではなく作者のレベルになります。分かりやすいかどうかはあなたのレベルなのでレベルが分からない以上紹介は困難です。こちらで適当なサイトを検索したものをあげて置きます。

http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/misc/gravity1/node2.html
http://www.ntrand.com/jp/glossary/
http://www.solitaryroad.com/c375.html

以下は僕の過去の質問の回答です。
http://okwave.jp/qa/q3645474.html

参考URL：

http://hooktail.sub.jp/mechanics/CG/

お礼

サイト教えていただきありがとうございます。
勉強します。

回答No.4

sanori

Ｎｏ．１の回答者です。

まず、話の順序があるのでＮｏ．２のご回答へのコメントについて。

＞＞＞一次モーメントの求め方は基本となる考えがあると思うのですが、
＞＞＞教えていただけないでしょうか？高校物理でやる力のモーメントと関係がありますか？

info22さんがおっしゃる「一次モーメント」というのは、いわば公園にあるシーソーのことであり、Ｎｏ．１で私が述べた「力のモーメント」と同じです。
ある場所に存在するものの質量に、支点からの距離の１乗、あるいは、重心からの距離の１乗をかけます。
Ｉ　＝　Σ ｍi・ｒi

二次モーメントというのもありまして、「慣性モーメント」（自転の速さの変えにくさ）がそれです。
Ｉ　＝　Σ ｍi・ｒi^2

＞＞＞まずy軸に平行な線で面積に等分にできるX=aを求め、次にX軸に平行な線で面積に等分にできるY=bを求めればいいということですか？

違います。
それでは「０次モーメント」になってしまいます。
Ｉ　＝　Σ ｍi
シーソーのどこに乗っても同じ。

さて・・・

直線Ａ：　y = x+2
曲線Ｂ：　y = x^2
線分Ａ’：　直線Ａで領域Ｄを横切る部分の線分
Xg：　領域Ｄの重心のＸ座標
Yg：　領域Ｄの重心のＹ座標

Ａ’の両端の座標は、
x+2 = x^2
より
x^2 - x - 2 = 0
(x^2 - x + 1/4) - 1/4 - 2 = 0
(x-1/2)^2 - 9/4 = 0
x-1/2 = ± 3/2
x=-1 or x=2
(x, y) = (-1, -1+2) or (2, 2+2)
(x, y) = (-1, 1) or (2, 4)

直線Ａの式から曲線Ｂの式を引いた式
y = x+2 - x^2
で表される領域を、領域Ｅと呼ぶことにすると、
領域Ｅは、x=-1 と x=2 の平均(x=1/2) の左右で線対称なので、
領域Ｅと領域Ｄの重心のＸ座標は同じです。
つまり、Xg = 1/2 です。

次にＹ座標 Yg についてですが、
今、書いていて気づきましたけれども、
先ほどの回答の　x=a　や　y=b　で切るよりも、
ｙ＝ｘ＋２　と平行な直線（傾きが１の直線）で切る方がよさそうです・・・
・・・が、１時間ほどやってみて、何度も計算ミスを発見してという状態ですので、すみませんが、ここでリタイア。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の積分を実行した結果は
S=9/2,G(xg,yg)=(1/2,8/5)
となります。
積分してチェックしてみてください。

回答No.1

sanori

こんにちは。

ある図形を、その重心を通る直線で２つに分割したとき、
その直線がいかなる向きであったとしても、直線の両側でつり合います。
（「力のモーメント」が等しくなります。）

言い換えれば、２つの直線について、どちらの場合にもつり合えば、直線の交点が重心です。

直線の方程式は単純な方がよいので、
ｘ　＝　ａ
というＹ軸に平行な直線と、
ｙ　＝　ｂ
というＸ軸に平行な直線について、
それぞれ、その直線の両側でつり合うようにａ、ｂを決めれば、
重心の座標は（ａ、ｂ）です。

補足

お早い回答ありがとうございます。
まずy軸に平行な線で面積に等分にできるX=aを求め、次にX軸に平行な線で面積に等分にできるY=bを求めればいいということですか？