高校数学の図形問題です。

質問

aを正の定数としたとき、
放物線y=a^2x^2と直線y=1とで囲まれた図形Dに含まれる最大の円の半径をaを用いて表せ。

どの時maxになるかは想像がつきますが、手も足も出ません。
方針を教えてください。

回答No.7

noname#232123

y=(ax)^2 の(x, (ax)^2)における曲率半径をR(x)とすると、
R(x)=(1/(2a^2))*{1+4a^2*x^2}^(3/2) より、(d/dx)R(x)=6a^2*x*√{1+4a^4*x^2} ですから、min.R(x)=R(0)=1/(2a^2).
この円がy=1に接するとき、a=1 ですから、ここが場合わけの分岐点です。
以下、結論を記述します。
0<a≦1 のとき、Max.R(x)=R(0)=1/2,
1<a のとき、Max.R(x)=1/a - 1/(2a^2).

回答No.6

atkh404185

NO.5　で書かれた回答を見ると、「 x 」 で考える方がよいと思いますが、

「 y 」 で解かれているので、 「 y 」 で考えたいと思います。

y=a^2x^2 ・・・・・・（１）

円の中心を (0，b) (0<b<1)とすると、

直線y=1 に接するから、円の半径は、

1-b となり、

円の方程式は、

x^2+(y-b)^2=(1-b)^2 ・・・・・・（２）

である。

（１）、（２）より

y^2+{(1/a^2)-2b}y+2b-1=0・・・・・（３）

ここで、円（２）が放物線（１）と接するのは、

(i) １点で接する

(ii) ２点で接する

の２つの場合がる。

(i) の場合は、原点で接するから、 （３）は y=0 を重解にもつ。

(ii) の場合は、２つの接点の x 座標の値は符号が異なり、

　　　　　　　　y 座標の値は等しいから、重解をもつ。

(i)、(ii)より

（３）の判別式を Ｄ とすると、

Ｄ=0

である。よって、

Ｄ=(1/a^2)-2b}^2-4・1・(2b-1)=0

1/a^4-(4/a^2)b+4b^2-8b+4=0

4b^2-(4/a^2+8)b+1/a^4+4=0

[2b-{(1/a^2)+(2/a)+2}][{2b-{(1/a^2)-(2/a)+2}]=0

b=(1+2a+2a^2)/(2a^2), (1-2a+2a^2)/(2a^2)

ここで、

(1+2a+2a^2)/(2a^2)=1/(2a^2)+(1/a)+1>1

より、

b=(1-2a+2a^2)/(2a^2)

y は重解をもつから、（３）より

y=-{(1/a^2)-2b}/(2・1)

=-(1/2a^2)+b

=-(1/2a^2)+(1-2a+2a^2)/(2a^2)

=(-2a+2a^2)/(2a^2)

=-(1/a)+1

(i) のとき

-(1/a)+1=0

両辺に a(>0) をかけて、

-1+a=0

a=1

このとき、円の半径は、

b=(1-2+2)/2

=1/2

であるから、

1-b=1-1/2=1/2

★ また、 放物線 （１）の x^2 の係数 a^2 が

a^2<1 のときも、 y=0 で接する。

よって、

a^2-1<0

(a+1)(a-1)<0

a>0 より

0<a<1 ★

(ii) のとき

y>0 で重解をもつから、

-(1/a)+1>0

両辺に a(>0) をかけて、

-1+a>0

a>1

このとき、円の半径は、

1-b=1-(1-2a+2a^2)/(2a^2)

=1-(1/2a^2)+(1/a)-1

=1/a-1/2a^2

しだがって、

0<a<=1 のとき　半径は 1/2

1<a のとき　半径は 1/a-1/2a^2

と、書けましたが、どうでしょうか？

★ ～ ★ 間が、よい説明かどうかわからないのですが・・・・・

ax^2+bx+c=0 の重解は

x=-b/2a

です。

解の公式

x={-b±√(b^2-4ac)}/2a

重解をもつから、

b^2-4ac=0

より、

x=(-b±√0)/2a

=-b/2a

ですね。

回答No.5

staratras

基本的な考え方だけグラフで示します。まずy=(a^2)(x^2) のグラフ（a>0）は、原点を通り下に凸の放物線ですが、aの値が大きいほど細長くとがった形になり、aが小さいほど大きく広がった形になります。

図がy軸について対称であることから、題意を満たす円の中心がy軸上にあることは明らかです。 題意を満たす最大の円はy=1と放物線の両方に接する円ですが、放物線との接点の数は、放物線の形(つまりaの値の大小）によって異なり、放物線が細長い形のとき（aの値が大きいとき）には接点が二つ(グラフのB,C)あり、放物線が大きく広がっているとき（aの値が小さいとき）には接点が原点一つ(グラフのD）しかないことがわかります。

しかも後者の場合、aの値に関わらず(aの値がある数以下であれば）題意を満たす円の中心はO(0,1/2)で、円の半径が1/2であることも明らかです。それでは、その境界はaがいくつのときでしょうか？

中心がO(０,1/2）で半径1/2の円の式は　x^2+(y-1/2)^2=1/4 …(1)　です。
これと　放物線の式　y=a^2x^2 …(2)　を連立方程式と見て　yを消去すると

a^4x^4+(1-a^2)x^2=0 …(3)　というxに関する4次方程式ができます。4次方程式は最大4個の相異なる実数解を持ちますが、(3)　から　x^2(a^4x^2+1-a^2)=0 x^2=0,x^2=(a^2-1)/a^4 となり、x^2=0からx=0という重解を持っているため、(3)の実数解は最大3個です。これは(1)と(2)が原点と他の2点の合計3点で交わる場合を示しています。

ただしここで求めたいのは、(1)と(2)がただ一つの接点を持つ場合つまり(3)の実数解がx=0だけの場合ですので、後者のx^2=(a^2-1)/a^4の 解も　x=0でなければなりません。a>0 より　a=1 で、４重解となるこの値が境界値です。

ここで0<a<1のときには、x^2=(a^2-1)/a^4<0 となりますので、(3)の実数解はx=0だけです。これは0<a<1のときには、aの値に関わらず(1)の円が題意を満たすことを示しています。

回答No.4

bran111

円はy=1に接し、かつy=a^2x^2に接するとき最大になります。
円の中心を(0,c),半径をrとするとy=1に接することから
c+r=1　⇒　r=1-c (1)
方程式は
x^2+(y-c)^2=r^2　　(2)
これが
y=a^2x^2 (3)
に接する条件は(1),(2)がyに関して重解を持つことである。
y/a^2+(y-c)^2=r^2
y+a^2(y-c)^2-a^2r^2=0
a^2y^2-2a^2cy+y+a^2c^2-a^2r^2=0
D=(1-2a^2c)^2-4a^2(a^2c^2-a^2r^2)=0
4a^4r^2-4a^2c+1=0
(1)を代入
4a^4r^2+4a^2r-(4a^2-1)=0
(2a^2r+1)^2=4a^2
2a^2r+1=±2a
r=(-1±2a)/2a^2
r>0,a>0より
r=(2a-1)/2a^2

回答No.3

atkh404185

aの値によって2点で接するか1点で接するかが異なってくると思うのですがその場合分けはどのようにしたら良いのでしょうか。

　　　　↓↓↓

ｙ で考えるのであれば、

接点が１個になるのは、

円と放物線が、放物線の頂点で接する場合ですね。

だから、頂点のｙ座標は　ｙ＝０

接点が２個になるのは　０＜ｙ＜１　の範囲ですね。　

回答した式で

x^2+(a^2x^2-b)^2=(1-b)^2

に、 x^2=y/a^2 を代入すると

y/a^2+(y-b)^2=(1-b)^2

y/a^2+y^2-2by+b^2=1-2b+b^2

y^2+{(1/a^2)-2b}y+2b-1=0・・・・・（ア）

だから、場合分けは

(i)　接点が１個のとき

y=0 を（ア）に代入して

2b-1=0
b=1/2
・・・・・・

(ii)　接点が２個のとき

（ア）の判別式をＤとすると
Ｄ＝０
・・・・・・

でいいと思います。

ちなみに、

Ｄ＝(1/a^2)-2b}^2-4・1・(2b-1)
＝1/a^4-(4/a^2)b+4b^2-8b+4
＝4b^2-(4/a^2+8)b+1/a^4+4

だから

4b^2-(4/a^2+8)b+1/a^4+4=0

両辺に a^4 をかけて

4a^4b^2-(4a^2+8a^4)b+4a^4+1=0

4a^4b^2-(4a^2+8a^4)b+(2a^2+2a+1)(2a^2-2a+1)=0

{2a^2b-(2a^2+2a+1)}{2a^2b-(2a^2-2a+1)}=0

b=(2a^2+2a+1)/a^2，(2a^2-2a+1)/a^2

となったのですが・・・・

あと、

D=t^2-2((1/a^2)+1)t+((1/a^2)+1)
D=0より(1/a^2)+1=Aと置いて
t^2-2At+A=0
このときのtMax(0<t<1)を求めたい
→平方完成すると軸(A,A^2-A)
Aは必ず1以上よりtMaxは0に一番近い点となり詰んでしまいました
どこか間違っているのでしょうか

　　　　↓↓↓

D=t^2-2((1/a^2)+1)t+((1/a^2)+1)

「 ｔ 」 が何なのか、回答した式の 「 ｂ 」 なのかわからないのですが・・・・

次数を下げて考えることを、

《 完全 》 に忘れていました。

補足

その分け方ですと、aの値による場合分けが出来ていないように感じます。
回答では
0<a≦1のとき1/2
1≦aのとき1/a-1/2a^2
となっていたのですが、このaの範囲の場合分けが分からず困っています。

申し訳ありません、t=bです。
また、計算ミスをしておりy^2+((1/a^2)-2t)y+2t-1=0が正しい式でした。

お手数おかけして申し訳ありませんが、ぜひ不勉強な私にご回答お願いいたします。

回答No.2

atkh404185

どの時maxになるかは想像がつきますが、

　↓↓↓

最大になる円は、

ｙ軸上にあって、

放物線y=a^2x^2 ・・・・・・（１）

と、

直線y=1

の両方に接する円ですね。

だから、その円の中心を (0，b) (0<b<1)とすると、

円の半径は、直線y=1 に接するから、

1-b になります。

だから、円の方程式は、

x^2+(y-b)^2=(1-b)^2 ・・・・・・（２）

となります。

（１）、（２）より

x^2+(a^2x^2-b)^2=(1-b)^2

x^2+(a^4x^4-2a^2x^2b+b^2)=1-2b+b^2

a^4x^4+(1-2a^2b)x^2+2b-1=0 ・・・・・・（３）

円と放物線が接するから、（３）の判別式をＤとすると、

Ｄ=0

である。

以下、これを解いていけばよいとおもいますが・・・・・・・。

補足

aの値によって2点で接するか1点で接するかが異なってくると思うのですがその場合分けはどのようにしたら良いのでしょうか。

また、高次化を避けるため
x^2=y/a^2(∵a>0)とし
判別式を求めると
D=t^2-2((1/a^2)+1)t+((1/a^2)+1)
D=0より(1/a^2)+1=Aと置いて
t^2-2At+A=0
このときのtMax(0<t<1)を求めたい
→平方完成すると軸(A,A^2-A)
Aは必ず1以上よりtMaxは0に一番近い点となり詰んでしまいました
どこか間違っているのでしょうか

回答No.1

shintaro-2

円の方程式を
x^2+(y-b)^2=c^2とでもして、　0<ｂ＜１
その円と与えられた放物線が接する時のb,cをaで表すということでしょう。