大学入試の数学です。

質問

負でないkに対してak=∫［0→1］e^-xx^kdxとおく。
(1)k≧1の時akとak-1の関係式を求めよ。
(2)bk=ak/k!とおく。k≧1の時bkとbk-1の間の関係式を求め、これより全ての自然数nに対してbn-b0=-1/eΣ［k=1→n］1/k!を示せ。
(3)全ての自然数nに対して0≦an≦1/n+1が成り立つことを示し、これを用いてe=Σ［k=1→∞］1/k!を証明せよ。

(2)のb0をどう説明していいかわからずそれ以降出来ません。お願いします。

回答No.2

think2nd

ちょっと、問題量が多いので、詳しく書けていません。
(3)の問題出題者の意図が、私とずれていますので、(模範解答が別にあると思います。)
　不等式　1/(n+1)<1+1/nが成り立つ。このアイデアを使うことになります。　
　数学問題は、ゲームですからいろいろやってみると、素直な誘導で面白いですね。
　(もっとも,この問題に関しては大学でマクロリン展開を学ぶとつまらんゲームだと思いますよ。)
　また　問題には'負でないk'とありますがkは非負の整数として解いています。
(1)　a0=∫［0→1］e^-xdx=1-1/eが成り立つ。(a1も求めてください。)
　　ak=∫［0→1］e^-xx^kdx　(k≧1)　を　部分積分法を利用して
　　　u=xe^(-x)　　u'=e^(-x)-xe^(-x)
　　　v'=x^(k-1)　v=(1/k)×x^k　　　　　とおけば
　ak=[(x^(k+1)×e^(-x))/k][0→1］-(1/k)∫［0→1］(x^ke^(-x)-x(k+1)e^(-x))dx　として、
　　=1/(e^k)-(1/k)×ak+(1/k)×a{k+1}　　({}は添え数です)
　　ak=1/(ek)-(1/k)×ak+(1/ak)×a{k+1}　が成り立ち両辺にkをかけて整理すると
　　(k+1)ak=1/e+a{k+1}　が成り立つがkを(k-1)に置き換えれば
　　∴　　ka{k-1}=1/e+ak　(これはk=1のときも成り立つ)

(2)bk=ak/k!　⇒ak=k!bkを(1)の解に代入すれば
　　　　　　　　k(k-1)!k{k-1}=1/e+k!bk
　　　　整理してbk-b{k-1}=-1/(ek!)
　　あとは得意の階差法でよく使う手法で
　　　　　　　　　b1-b0=-1/e
　　　　　　　　　b2-b1=-1/(2!e)　　
　　　　　　　　　・・・・・・
　　　　　　　　　bn-b{n-1}=-1/(n!e}
　　上の等式の右辺左辺をすべて加えて
　　　　　　　　　bn-b0=-(1/e)×(1+1/2!+・・+1/n!)=-1/eΣ［k=1→n］1/k!・・・(1)'

(3)　まず　x≧0においてすべての自然数nについて　被積分関数　e^-xx^n≧0だから
　　　　　　an=∫［0→1］e^-xx^ndx≧0が言える。
　　また　e^(-x)≦1だから
　　　an=∫［0→1］e^-xx^ndx≦∫［0→1］1×x^ndx=1/(n+1)　　・・・(2)'
　ここで1/(n+1)≦1+1/nだから,　すべての自然数nについて　　
　　　　0≦an≦1/n+1　が成り立つ。n→∞のときan→1となりan/n!→0となるから
　　　(1)'はn→∞のとき
　　　-b0=-(1/e)×(1+1/2!+・・+1/n!+・・・)　と表せてこれを　整理して
　　　　　e=Σ［k=0→∞］1/k!　と表せる。
以上ですが
　(2)'から　すぐにe=Σ［k=0→∞］1/k!を導けます。以上のとき方だと　
　　インテグラルの下端がk=0になります。

回答No.1

Tacosan

「b0 を説明する」とはどういうことですか?

補足

階差数列でn≧2以上の場合、n=1の場合分けをしててb0って意味がわからないと思ってましたが、積分なのでa0,b0表されることに気付きました。それでも(３)のがわかりません。恐らくn=1の時成り立つ、n=kの時成り立つと仮定すると不等式をn!で割って0≦bn≦1/n+1!とやるのではと思いますが・・・