等差数列関連の問題

質問

センター問題集の問題なのですが、
どこが間違っているかわからず困っています。

初項a、公差-3の等差数列の和をSnとする。
このときSnを最大にするnがn=15のみであるようなaの値の範囲を求めよ。

という問題です。

Sn=n * ( a + 3/2 - 3n/2 )

より、これをnの2次関数として軸を求めるとn = 1/3 * ( 3/2 + a )となり、
15 <= 軸 < 16　を解いて、
43.5 < = a < 46.5
ゆえに　44 < = a < 46
としたのですが、　正解は 42 < a < 45です。

どこがおかしいでしょうか・・。

（aが整数と書いてあるわけでもないので
43.5 < = a < 46.5 から　44 < = a < 46　としているのはおかしな気がしますが）

よろしくお願いいたします。

回答No.1

shuu_01 · ベストアンサー

＞　15 <= 軸 < 16　を解いて、
＞　43.5 < = a < 46.5
＞　ゆえに　44 < = a < 46
＞　としたのですが、　正解は 42 < a < 45です。
＞　どこがおかしいでしょうか・・。

「15 <= 軸 < 16　を解いて」 が間違っています

「軸を求めるとn = 1/3 * ( 3/2 + a )」 までは正しいです

その軸が n ＝ 15 のみとするためには、

14.5 ＜ 1/3 * ( 3/2 + a ) ＜ 15.5

としなくてはなりません

たとえば、軸が 14.6 でも、それに１番 近い自然数は 15
ですので、条件を満たしています

15 <= 1/3 * ( 3/2 + a ) ＜ 16

と置いてしまうと、軸が 15.9 の時も含まれてしまい、
15 より 16 の方が軸に近く ＝ 最大値が大きくなってしまいます

お礼

迅速なご回答どうもありがとうございます。

納得いたしました！
14.5 ＜ 1/3 * ( 3/2 + a ) ＜ 15.5 で 確かに42 < a < 45 になりますね。
軸の式を使ってどう訂正すればいいかわかり、スッキリできました。

図までつけてくださり、感動しています。どうもありがとうございました。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

＞（aが整数と書いてあるわけでもないので
＞43.5 < = a < 46.5 から　44 < = a < 46　としているのはおかしな気がしますが）
確かにそうですよね。
軸の位置について、
　15≦ 軸 ＜ 16
　14＜ 軸 ≦ 15

のそれぞれの場合があるということです。
さらに、前後の項との大きさ関係も考えないといけません。

で、正解の出し方ですが、Snを計算せずに求められます。
「Snを最大にするnがn=15のみ」を「n＝15までは増え続け、n＝16からは減り続ける」
と解釈できれば、
　a[15]＞ 0 かつ a[16]＜ 0

とするだけで答えとなる範囲が求まります。
軸の条件よりも確実に言えなければならない条件です。

お礼

ご回答くださり、ありがとうございます。

添付していただいた図がとてもわかりやすかったです。
朝回答を見て、なるほどー！と感動してしまいました。
お二方ともベストアンサーを差し上げたいのですが、
今回は先のご回答者様にということで、申し訳ありません。

この問題ではSnを求めるステップが入っていて、
つい二次関数の軸で解いてしまいました。
a[15]＞ 0 かつ a[16]＜ 0のほうがわかりやすいですね。

どうもありがとうございました。