対数関数の微分(マクロ経済学)

質問

こんにちは！初めて質問します！
対数関数の微分がわからないので、教えてください！

max In(Wt-St-Dt)+1/(1+ρ)In[(1+(Rt+1)(St+Dt)]　　　※大文字のあとのtやt+1は添字です

この一階条件から得られる貯蓄関数がSt=1/(2+ρ)Wt-Dtとなるらしいのですが、どのように計算しているかわかりません。
教えてください！よろしくお願いします。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

質問のmaxの中の式ですが、

(*)　　　　　ln(Wt - St - Dt) + [1/(1+ρ) ]ln[(1 + Rt+1)(St + Dt)]

が正しいですよね！一つは、自然対数はｌｎであって、Inではありません。二つは、あなたの式のRｔ＋１の前についているカッコ（は要りませんね！

(*)をStについて微分して、０とおけば求める式が出ます。そのためには、微分に関して２つの知識が必要です。(1)自然対数の微分の公式と(2)合成関数の微分の知識です。

　(1)は、f(x) = lnx 　⇒　　f'(x) = 1/x

(2)は、F(x) = f(g(x)) ⇒　F'(x) = f'(g(x))g'(x)

これらの事実に注意しながら、(*)をSｔについて微分し、ゼロとおいてみましょう。すると

　　　　　　-1/(Wt-St-Dt) + [1/(1+ρ)][(1+Rt+1)/(1+Rt+1)(St+Dt)] = 0

よって、
　　　　　　-1/(Wt-St-Dt) + [1/(1+ρ)][1/(St+Dt)] = 0

すなわち、

　　　　　 Wt-St-Dt = (1+ρ）（S+Dt)

これを整理すると、求める式

　　　　　　St = Wt/(2+ρ）－ Dt

を得る。どこで、合成関数の微分の公式を使ったか考えてください！

お礼

わー(((o(*゜▽゜*)o)))すごい！！
早速の回答ありがとうございます！
訂正その通りです、すみません。
対数の微分だけでなく、合成微分の復習も必要だったんですね！
ていねいに教えていただいて、助かりました☆
ありがとうございます( ^ω^ )