高校受験過去問

質問

助けてください。
y=1/2xの2乗の放物線のグラフ上に点A(3,4.5)と点B(6,18)がある。y軸上に点Pを取って、AP+BPが最小になったときの点Pの座標を求めよ。
解説をお願いしますm(_ _)m

回答No.3

Allix

【解答】
点Aのｙ軸対称点A’（-3、4.5）と点Bを結び、直線A'Bとｙ軸の交点がP（0、9）となります。
【解説】
「理科の鏡の反射」と同じ問題です。
ｙ軸対称なのですからAP＝A'Pなので、AP+BP=A'P+BPとなります。
したがって、A'P＋BPが最小になる点Pを求めればよいわけです。
ここで、二点間の最短距離は、二点を結ぶ線分の長さですから、A'P＋BPが最小になるのは、三点A'、P、Bが一直線に並んだときなわけです。
というわけで、上記【解答】のようになります。
【念のため】
点Pの座標を求めるのに、直線A'Bの式を求めてｙ軸との交点を出す必要はありません。
点A'のｘ座標が-3、点Bのｘ座標が6なのですから、線分A'Bはｙ軸で1:2に内分されています。
点A'のｙ座標が4.5、点Bのy座標が18なので、これを1:2に内分する9が点Pのｙ座標になります。
【tip】
「理科の鏡の反射問題」は「羊さん問題」とも言われます。
直線の小川があって、小川から少し離れたA地点で、羊が遊んでいる。
日が暮れたので羊飼いは、B地点の羊小屋に羊を連れて帰りたいのだが、一日、遊んだ羊はのどが渇いているので、小川で水を飲ましてから帰りたい。
小川のどこで水を飲ませれば最短距離で帰れるのだろうか。
ただし、B地点もA地点と小川の同じ側（川向こうの反対側ではない）にある。
もうお分かりですね。
AでもBでもどちらかを、小川の反対側の線対称点に持って行って、（ここではAをA'に持って行ったことにしましょう）A'とBを結んだ線が小川とぶつかった点が、羊に水を飲ませる地点になります。

お礼

ありがとうございます。気がつきませんでした。

回答No.2

shuu_01

点P の座標を （0, p）として、AP + BP をバカ正直に計算すると

√（3^2 + ( p - 4.5)^2） + √（6^2 + (18 - p)^2）

となります

そのグラフを描いてみると、、、、やっぱ 9 位の所で最小になります

お礼

補足説明まで…ありがとうございます。

回答No.1

shuu_01

点A と y軸について対象な 点A’（－3, 4.5） を取ります
そうすると、AP ＝ A’P となります
AP＋BP が最小になるのと A'P＋BP が最小になるのとは同じです
A'P＋BP が最小になるのは、A'、P、B が一直線上に並んだ時です
A'B を結ぶ直線の式は

y － 18 ＝ （18 － 4.5）/（6＋3）（x － 6）

整理して y ＝ 3/2x ＋9

【答え】 P の座標は （0, 9）

お礼

ありがとうございました。睡魔にやられて気を失っていました。これから自分でやってみます。