初めての行為を得られる数の分布

質問

わかる方は、教えてください。

ともに要素数がnの集合FとMがある。FとMからランダムに1要素づつ選び、その要素同士がある行為をおこなった後、もとの集合に戻す。この操作を、FとMの全ての要素が行為を1回以上行うまで繰り返す。

このとき、抽出されたMの要素をm、Fの要素をｆとして、ｆが当該行為を始めて行う場合、mが得点1を得られるとする。また、Mの全ての要素の得点の初期値は、0とする。

繰り返しが終了した時点において、「得点がiのMの要素の数／Mの全要素数（n）」の期待値をP(n,i)とする。n->∞における、P(n,0)、P(n,1)、P(n,2)等の極限値は、いくつか？

回答No.1

MagicianKuma · ベストアンサー

＞FとMの全ての要素が行為を1回以上行うまで繰り返す。
はFの要素が全て選ばれるまで繰り返すに変えても同じ状況になると思われます。（Fの要素が全て選ばれたときにMの要素には選ばれないものがあったとして、さらに試行を続けても得点状況に変化は起きないので）
といったようなことを考えていくと、問題は次のよう言い換えることができると思います。
集合M（要素数n)から復元抽出をn回行う。要素の得点初期値を0として、選ばれるごとに+1得点を加算する。
n回試行した後で、［得点がiのMの要素の数/n］の期待値P(n,i)としn→∞の極限値はいくつか？

答え：　limP(n,i)=1/(i!・e) eはネイピア数、0!=1とする。
limP(n,0)=1/e≒0.368
limP(n,1)=1/e≒0.368
limP(n,2)=1/2e≒0.184
limP(n,3)=1/6e≒0.061

お礼

ありがとうございます