場合の数

質問

4つの数字1,2,3,4だけからなるn桁の自然数の集合をUとする
(１)１が現れないUの要素の個数を求めよ
(２)1,2,3の３個の数字のどれもが少なくとも１個あらわれるＵの要素の個数を求めよ
(１)3＾n
(２)1が現れる集合、2が現れる集合,3が現れる集合をＡ、Ｂ、ＣとするとＡ∩Ｂ∩Ｃの個数をもとめるんですよね？やり方教えてください

回答No.5

ka1234 · ベストアンサー

こんにちは。

＞やり方教えてください

4つの数字1,2,3,4だけからなるn桁の自然数の集合をUとする

(1) 1 が現れないUの要素の個数を求めよ

[解答] {2, 3, 4} の内から毎回１つづつ選ぶので、
　　(3C1)^n＝3^n

(2) 1,2,3の３個の数字のどれもが少なくとも１個あらわれるＵの要素の個数を求めよ。

[解答]
(ⅰ) {1, 2, 3, 4} を全て含むもの
　　4C4(4^n)-4C3(3^n) + 4C2(2^n) -4C1(1^n)・・・[1]

(ⅱ) {1, 2, 3} だけからなり、どれも少なくとも１つは含むもの
　　3C3(3^n) - 3C2(2^n) +3C1(1^n)・・・[2]

[1], [2] で全ての場合は尽くされる。

∴　(4^n)-4(3^n)+6(2^n)-4+(3^n)-3(2^n)+3
　＝(4^n)-3^(n+1)+3(2^n)-1

（答え）(4^n)-3^(n+1)+3(2^n)-1 (n≧1)

回答No.4

age_momo

ベン図を描いて確認してください。

全体　4^n
1が無い、2が無い、3が無い　それぞれ　3^n
1と2が無い、2と3が無い、3と1が無い　2＾n
1,2,3が無い　1^n=1

4^n-3*3^n+3*2^n-1=4^n-3^(n+1)+3*2^n-1

回答No.3

noname#77845

＃１です。失礼しました。

×　1,2,3の３個の数字少なくとも１個あらわれるＵの要素
○　1,2,3の３個の数字の「どれもが」少なくとも１個あらわれるＵの要素
ということですね。
3桁の時1から3のどれもが1回現れる表し方は6とおりあります。
ｎ桁の時も、どこかの3桁はこの並びになっているはずです。
また、他の桁については1から4のどの数字でもＯＫです。
なので、
3!×4^(n-3)
=6・4^(n-3)
でしょうか。（全く自信なし。）

回答No.2

heli

（１）は3^nであっていると思います。
（２）は１がある場合２がある場合・・・と考えるよりも、
全ての桁が4の場合をさきに求め、全体から引けばのこりは1・2・3のいずれかが入っている事になるので、
4^n-1
が答えです。
全ての桁が4である数字は一通りしかないので、全体から１を引けばよいのです。

補足

NO,1の方のやりかたもですが、
それだと「1,2,3の３個の数字の（いずれかが）が少なくとも１個あらわれるＵの要素」の求め方になってしまいます。

回答No.1

noname#77845

(1)はあっています。
(2)は全体の個数(4^n)から「1、2、3」のどれも現れない要素(全てが4の要素なので、1^n=1)を引けばいいので
4^n-1
になると思いますよ。