1/m+1/n=1/p

質問

ヒントを読んでも手がつけられません。
解答・解法とともに、着眼点（ヒントをどのように利用するか）も教えていただけると嬉しいです。
また、このような問題は「整数問題」と呼ぶのでしょうか？
類題を探して対策したいのでどのような分野からの出題なのかも教えていただけたらと思います。

(1)pを素数とするとき、1/m+1/n=1/pを満たす自然数m,nをすべて求めよ。
(2)1/m+1/n<1/5を満たす自然数m,nに対して、1/m+1/nの最大値を求めよ。

ヒント：
pを素数、l,m,nを自然数とするとき、mn=lpならmまたはnはpの倍数である。
mn=p^2なら(m,n)=(1,p^2)または(p,p)である。

よろしくお願いします。

回答No.1

kansai_daisuki · ベストアンサー

完璧に「整数問題」ですね。懐かしいぐらいの典型的問題です。大学受験経験者は、この問題そのものを解いたことがある方も多いのではないのでしょうか？

とりあえず、解いておきます。

1/m+1/n=1/p
⇔(m+n)/mn=1/p
⇔p=mn/(m+n)
⇔mn=(m+n)p ---(a)

ここで「mn=lpならmまたはnはpの倍数である。」ため、nがpの倍数であると仮定すると、n=pk (kは自然数)。

(a)
⇔mpk=(m+pk)p
⇔mk=m+pk
⇔pk=mk-m
⇔pk=m(k-1) ---(b)

ここでk≠k-1であるため、m=akとおくと、
(b)
⇔pk=ka(k-1)
⇔p=a(k-1)

ここで、n=pkより、
n=pk=a(k-1)k

p=a(k-1)
m=ak
n=a(k-1)k

pは素数であるため、
(a,k-1)=(1,p)または(a,k-1)=(p,1)

[1](a,k-1)=(1,p)のとき、
m=ak=1×(p+1)=p+1
n=a(k-1)k=1×p×(p+1)=p(p+1)

[2](a,k-1)=(p,1)のとき、
m=ak=p×2=2p
n=a(k-1)k=p×1×2=2p

てな感じですかね。
(2)は、(1)が解ければ楽勝でしょう。

お礼

ありがとうございます。大変わかりやすかったです(*^_^*)
こうして解答を読ませていただくと複雑なことはないと思えるのですが、
また違う問題を解いてみると行き詰ってしまいます。
たくさん解いて慣れればどうにかなるんでしょうか…。

回答No.8

kansai_daisuki

なるほど。
"(2)"の回答は、#6さんの回答で合っているかもしれませんね。

回答No.7

kansai_daisuki

■質問者さんへ:
>また違う問題を解いてみると行き詰ってしまいます。
>たくさん解いて慣れればどうにかなるんでしょうか…。

　その問題は、#1の解法では解けないのでしょうか？
というより、実は#1の問題に解法と言えるほどの解法は無いです。単なる計算問題ですので。あえて解法はどれかと言えば、質問者さんの書いたヒントが解法です。知らなかったのであれば、覚えておいて損は無いです。頻出の知識です。

また、(1)についてですが、証明では下記の３通りが答えです。

(m,n)=(p+1,p(p+1)),(p(p+1),p+1),(2p,2p))

特に証明と思っていなかったため、あえて書いてなかったのですが。やはり間違えて学習されては怖いので書いておきますね。

■FuKa1さんへ:
その通りですね。(2)では、1/pである必要は無いですね。すみませんでした。

>(2)1/m+1/n<1/5を満たす自然数m,nに対して、1/m+1/nの最大値を求めよ。

1/m+1/nが最大であるためには、m,nが条件1/m+1/n<1/5を満たす自然数の中で最小であればよい。

よって、m≦nとおくと、
1/n+1/n≦1/m+1/n≦1/m+1/m
⇔2/n≦1/m+1/n≦2/m

これと1/m+1/n<1/5より、
2/n<1/5⇔10<n
ここで、最小のnはn=11である。

[1]n=11のとき、
1/m+1/n<1/5
⇔1/m+1/11<1/5
⇔1/m<1/5-1/11(=6/55)
⇔m>55/6>9
⇔m>9
ここで、最小のmはm=10である。

よって、(m,n)=(10,11)のとき、
1/m+1/n
=1/10+1/11
=(11+10)/(11×10)
=21/110
<22/110
=1/5
∴1/m+1/n=21/110

[2]n=12のとき、
(m,n)=(9,12)
1/m+1/n=21/118

[3]n=13のとき、
(m,n)=(9,13)
1/m+1/n=22/117

[4]n=14のとき、
(m,n)=(8,14)
1/m+1/n=22/112

[5]n=15のとき、
(m,n)=(8,15)
1/m+1/n=23/120

[6]n=16のとき、
(m,n)=(8,16)
1/m+1/n=24/128

...(つづく)

これでしか出せないのかな？
もっとスマートな解法がありそうなんですが。

回答No.6

tresbien

というより　=1/7　から求めるのではなくて　=1/5で考える。

1/m+1/n=1/5　の解の組は(m,n)=(10,10)(6,30)(30,6)で、これから条件を考えると(m,n)=(6,31)(31,6)が答になって、最大値は　37/186　ではないですか。

回答No.5

FuKa1

kansai_daisukiさん訂正ありがとうございます。その通りです>>#3。

ただ#4の回答を見て疑問におもったのですが、命題の左辺=1/pとなっているのは何か理由があるのでしょうか？もしそうならば、1/5より小さくなる(m,n)の組み合わせが必ず1/pの形になることを証明する必要があるのでは？

質問者でもないのに質問してすいません。

回答No.4

kansai_daisuki

(2)は、

1/m+1/n=1/p<1/5
⇔1/p<1/5
⇔p>5
よって、pは5の次に大きな自然数であればよい。
よって、p=7のときのm,nを求める。

[1](a,k-1)=(1,p)
m=p+1,n=p(p+1)のとき、
m=p+1=8,
n=p(p+1)=56
よって1/m+1/n=1/7

[2](a,k-1)=(p,1)
m=2p,n=2pのとき、
m=2p=14
n=2p=14
よって1/m+1/n=1/7

てな感じですかね。

回答No.3

kansai_daisuki

No2さんの下記内容ですが、
>=> p/n = g-1/g
>ここでg-1/gはこれ以上約分できず、またpが自然数のため、
>p = g-1
>n = g

　g-1は、pの約数であるため、pまたは1の可能性もあります。そして、ここでは、g-1=1の可能性についての照明が抜け落ちています。

回答No.2

FuKa1

昔好きだった分野の問題です。が、今やってもうまく解けないですね。(2)はお手上げですが(1)について、、（間違いかも)。

命題より
p(m+n) = mn ,,,(1)
ヒントよりmかnはpの倍数。
ここでm=gpとしても一般性は失わない。

また命題の両辺にpをかけると、
p/m + p/n = 1
=> 1/g + p/n = 1
=> p/n = g-1/g

ここでg-1/gはこれ以上約分できず、またpが自然数のため、

p = g-1
n = g

となる。

これらを書き直すと、
m = p(p+1)
n = p+1
を満たすmとnが命題を満たす。

自分は受験時には(2)のようなタイプの問題にはm=5,6,,,と代入していき、左辺を最大とするようなnの値を計算していました。結構時間がかかりましたが、それでも悩むより早かったような。