中学受験、立体の切断の問題を解説する方法

質問

• 中学受験の立体の切断問題について解説します。某中学校の入試問題であり、解答はあるものの解説がなく理解できないという方向けです。
• 問題は正方形の底面を持つ正四角すいの切断問題で、3つの要求に対する立体の体積の比を求めるものです。
• 問題の解答は以下のようになります。問題（１）では立体の体積の比が1：4、問題（２）では1：12、問題（３）では3：8となります。

回答No.10

englishquestion

（３）のみ回答します。

三点B、G、Hを通る平面　は、対称性から、四点B、G、H、Eを通る平面です。
なので切断面は四角形BGHEとなります。

Aを含まない方の体積（の割合）を計算します。

Aを含まない方の立体を切断面の四角形BGHEの対角線EGとDを通る平面で切断します。
切断面は、三角形EGDです。
この切断により、Aを含まない方の立体は、
四角すいBCDE-G　と　三角すいGDH-Eに分けられます。

まず、四角すいBCDE-Gを考えると、これは元の立体の1/2の体積です。
底面BCDEから見た高さが半分になっているからです。

次に、三角すいGDH-Eを考えます。
底面をGDHと見た時、この底面は三角形ACDの1/4の面積です。
また、三角すいACD-Eは、元の立体をACEの平面で半分にしたものなので、
三角すいGDH-E
＝三角すいACD-E x 1/4
＝元の立体 x 1/2 x 1/4
＝元の立体 x 1/8
となります。

従って、Aを含まない方の体積は、元の立体の、
1/2 + 1/8 = 5/8 となり、
求めるべき、Aを含む方の立体の体積は、
元の立体の 3/8 となります。

いろいろ解き方はありそうですね。