中学受験、立体の切断の問題を解説する方法

質問

• 中学受験の立体の切断問題について解説します。某中学校の入試問題であり、解答はあるものの解説がなく理解できないという方向けです。
• 問題は正方形の底面を持つ正四角すいの切断問題で、3つの要求に対する立体の体積の比を求めるものです。
• 問題の解答は以下のようになります。問題（１）では立体の体積の比が1：4、問題（２）では1：12、問題（３）では3：8となります。

回答No.15

englishquestion · ベストアンサー

No.10（13）です。

直接Aを含む方の立体の体積割合が出せたのでそれをご報告しておきます。

Aを含む方の立体を平面AEG（＝平面AEC）で切断します。
切断面は△AEGです。

この切断により、「Aを含む方の立体」は、
三角すいABE-G と 三角すいAEH-G に分けることができます。

三角すいABE-G
＝ 三角すいABE-C x 1/2
＝ 元の立体 x 1/2 x 1/2
＝ 元の立体 x 1/4

三角すいAEH-G
＝ 三角すいAED-G x 1/2
＝ 三角すいAED-C x 1/2 x 1/2
＝ 元の立体 x x 1/2 x 1/2 x 1/2
＝ 元の立体 x 1/8

従って、「Aを含む方の立体」は、
合計で、元の立体の、1/4 + 1/8 ＝ 3/8 です。

なお、三角すいAEH-G についてはこう考えることもできます。
四角すいFGHI-A は、元の立体と相似で相似比は1/2なので体積は1/8です。
三角すいIGH-A は、この四角すいFGHI-Aの半分の体積です。
（底面が半分になっていますから）
そして、三角すいAEH-G は、この 三角すいIGH-A の2倍の体積です。
（底面をIGHとしたまま高さが2倍（AI→AE）になっています）
したがって、結局、
三角すいAEH-G は、四角すいFGHI-A と比べて、
底面積が半分になった一方、高さが2倍になったので、体積は変わりません。
つまり、1/8 ということです。

No.10にせよ、今回の回答にせよ、切断を考えるのが結構面倒なんですよね、、、
切断されたあとの立体がどう別れるか（きれいに分かれているのか）を
考えるのが私のように立体のセンスがない人間には結構大変です。
（図がグチャグチャになる、、、）
これが上手く行けばそこからは早いとは思いますけどね。

お礼

この問題を一緒に考えて下さった皆様、お礼が遅れまして本当にもうしわけございませんでした。そして、真剣に考えて下さったことを心から感謝申し上げます。
本来ならばお一人お一人にお礼を言わなきゃいけない立場ではありますが、最初の受験を１週間後に控えておりまして、時間の都合でお礼をこちらでまとめて言わせて頂く失礼をどうかお許し下さい。
こちらで頂いた解説１つ１つを読ませて頂き、なんとか理解することができました。実際の試験で自力で解けるか（我が子が）といったら、ちょっと能力的に厳しいかな？という気もしますが、ここで過去問１つにこだわって理解した、ということが自信につながればいいな、と思っております。
私一人では子供にここまで教えることはできませんでした。皆さんのおかげです。本当にありがとうございました。