力学的エネルギー

質問

m(dv/dt)=F

m(dv/dt)v=Fv

1/2{m(d/dt)v^2=Fv

d/dt{(1/2)mv^2}=d/dt(∫Fvdt)

２行目から３行目の式変形がわかりません。

どこから1/2がでてきたのですか？

詳しい解説お願いします。

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

こんばんは。

☆m(dv/dt)v=Fv
1/2{m(d/dt)v^2=Fv
◇これはですね～、
　d(v^2)/dt = (dv^2/dv)・(dv/dt) = 2v・dv/dt
だからです。
ですから、
　v・dv/dt = (1/2)・(d(v^2)/dt)
となります。

お礼

ありがとうございます。

dv/dt=d/dtですか？

詳しい解説お願いします。

回答No.4

NemurinekoNya

☆d/dtはどういうことですか？
◇これは、
　(d/dt)f
のように、
　df/dt
と表現されていないのは何故か、という質問ですか？

(d/dt)f = df/dt
の意味ですよ。

(d^2/dt^2)は、
　(d^2/dt^2)f = d(df/dt)/dt = d^f/dt^2
となります。

これは、微分をどのように表現するかという、「表記上」の違いに過ぎません。
時に、
　D = (d/dt)
と定義して、
　Df = (d/dt)f = df/dt
とする場合もあります。
この表現方法ですと、
　D^2f = (d^2/dt^2)f = d^2f/dt^2
となります。
Dを一種の数みたいなもの、《演算子》と呼んだりします。

余談になりますが、
もし、
　Df = t
なんてのがありますと、
　f = t/D
と割り算ができる。
では。
　1/D
とは何ぞ！！
微分の逆演算は積分だから、
　1/D = ∫dt
となります。
すると、
　f = t/D = ∫dt・t = ∫t・dt = (1/2)・t^2 + c

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.3

NemurinekoNya

d(v^2)/dt = (d(v^2)/dv)・(dv/dt)
というのは、
数学で言うところの《合成関数の微分》と呼ばれるものです。

f(φ(t))のとき、これのtの微分は、
　df((φ(t))/dt = df/d(φ(t))・dφ(t)/dt = (df/dφ)・(dφ/dt)
となる。
そして、この場合はf = v^2、φ=vとすると、
　(dv^2/dt) = (dv^2/dv)・(dv/dt)
となります。
　dv^2/dv = 2v
なので、
　dv^2/dt = 2v・(dv/dt)
というわけです。
だから、
　v・(dv/dt) = (1/2)・(dv^2/dt)

こんなことを言うと、数学的に細かい人は、眉をひそめちゃいますけれども、
　df/dt = (df/dφ)・(dφ/dt)
の右辺をタダの掛け算だと考えると、dφが分母分子にあるから、消えちゃって、df/dtになるじゃないですか（ニコニコ）。

お礼

d/dtはどういうことですか？

分子のdには横に文字がないのはどういうことですか？

詳しい解説お願いします。

回答No.1

Tacosan

俗にいう「エネルギー積分」ってやつだな.