運動量と運動エネルギーの関係について。（力学ー新しい視点に立ってー）より。

質問

大学生の者ですが、力学の教科書の章末問題で分からない部分があり、気持ちが悪いのでどなたか分かる方よろしくお願いしますm(_ _)m
　以下、長くなりますが問題をコピペ。

『ホッパー（貯炭槽）の底から、地面に平行に定速度vで動いているコンベヤ・ベルトの上に、物質が定速度（dm/dt=σ）で落ちている。コンベヤー・ベルトを動かすのに必要なモーターの電力はどれだけか。
この必要電力が力学的エネルギーの時間変化率の２倍になるのはなぜか。(W=∫F・dr として電力は　dW/dt と書くことができる)』

という問題なのですが、前半は
F = d(mv)/dt = v*dm/dt = vσ
必要電力は単位時間あたりの加える仕事なので、
　 P = F*v = σv^2　　　　(答え)
一方、力学的エネルギーの時間変化率は
d(mv^2/2)/dt = v^2/2*(dm/dt) = (σv^2)/2
であるので、確かに必要電力が力学的エネルギーの時間変化率
の２倍になることが確かめられた。

…のですが、その何故かが分かりません(>_<)
感覚的には電力を通じて与えた仕事がそのまま力学的エネルギー
に変換されそうな気がするのですが…。
おそらく問題は定性的な答えを期待していると思うのですが、
どなたか答えられる方いらっしゃいましたらよろしくお願いします。

回答No.2

u-kid · ベストアンサー

愚直にベルト上に落ちた物体の運動を計算すると何が起こっているのかがよく分かります。
ベルト上に落ちた物体は直ちに水平方向にベルトの速度vで動き始めることは出来ません。加速度が無限大＝ベルトから受ける力が無限大になるからです。実際にはベルトとの摩擦により一定の加速度aで運動を始めます。ベルトの速度に追いつくと以降はベルトの速度vで移動します。
この間に落ちた物体の移動量とベルトの移動量を計算してみると、物体の移動量はベルトの移動量の半分になっていることが解ります。計算は非常に簡単ですから、ご自分でもやってみて下さい。

結論は、実は物体がベルトの上に落ちた直後から速度がベルトと一致するまではベルト上で滑っているということです。この結果、滑っている分のエネルギーは摩擦エネルギーとして散逸し、通常は熱エネルギーになります。

お礼

ありがとうございます！
無くなっていた半分の正体は摩擦熱だったんですね。
確かに計算したら、加速中はベルトの距離の半分の距離物体が
物体の移動距離になりました！

回答No.1

Denkigishi

＞感覚的には電力を通じて与えた仕事がそのまま力学的エネルギーに変換されそうな気がするのですが…。

ところが、どういうわけか、加速というプロセスにおいては、そうではないのですね。
モータが負荷を加速させるとき、負荷側で増加した運動エネルギーに等しいエネルギーをモータは内部で消費するので、倍のエネルギーが要るというのは「電動機応用学」の重要な事項なのです。コンベアの場合も物質が０から加速されているので、加速プロセスなんでしょう。途中経過（過渡現象）を捉えるか、最終値（定常状態）を捉えるかの違いかもしれません。

直流電源からコンデンサに充電するときも、コンデンサに蓄えられるエネルギに等しいエネルギーが直流電源内で消費されます。これは計算式で簡単に説明できるので、当たり前で済ましておりましたが、貴殿の質問でよみがえりました。

これはどうでしょうか。かえって頭を悩ますことになりますが。
ｆｔ＝ｍｖという力学の基本式で、両辺にｖをかけると、ｆｔｖ＝ｆｓ＝ｍｖｖ　となる。１／２が付きませんね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
電動機の分野にもこのような問題があるのですね。

＞加速というプロセスにおいては、そうではないのですね。
なるほど、以降加速が絡む時には十分気をつけたいと思います。