定積分

質問

次の問題の定積分の解き方がわからないので答えと解き方を教えて頂けると助かります
定積分なので画像の方に書かせて頂きました

http://i.imgur.com/e5ZpoF8.png

わかる方回答よろしくお願いします

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

1
不定積分
∫x^2 log(x) dx
は部分積分を使って
=(1/3)x^3 log(x)-(1/3)∫x^3 (1/x) dx
=(1/3)x^3 log(x)-(1/3)∫x^2 dx
=(1/3)x^3 log(x)-(1/3)(1/3)x^3 +C
=(1/3)x^3 log(x)-(1/9)x^3 +C

あとは定積分の積分範囲[e,e^2]をあてはめるだけです。
計算すると
∫[e,e^2] x^2 log(x) dx=(5/9)e^6 -(2/9)e^3

2
積分範囲x=1～2から e^x>2 ...(※)
不定積分
∫e^(2x)/(e^x-2)dx=∫{e^x+2((e^x)/(e^x-2))} dx
は部分積分を使い(※)であることを考慮して
=e^x +2ln(e^x -2) +C

あとは定積分の積分範囲[1,2]をあてはめるだけです。
計算すると
∫[1,2] e^(2x)/(e^x-2)dx=e(e-1)+2ln((e^2-2)/(e-2))

3
∫(24+2x)/(9-x)^2 dx
=∫{6/(x-9)^2 -2/(x-9)}dx
積分範囲から x=0～2から x-9<0であることを考慮して
=-6/(x-9)-2ln(9-x) +C

あとは定積分の積分範囲[0,2]をあてはめるだけです。
計算すると
∫[0,2] (24+2x)/(9-x)^2 dx=(4/21)+4ln(3)-2ln(7)
=(4/21)+2ln(9/7)

4
積和公式を適用して不定積分を求めます。
∫sin(3x)sin(x)dx
=(1/2)∫{cos(2x)-cos(4x)}dx
=(1/4)sin(2x) -(1/8)sin(4x) +C

あとは定積分の積分範囲[π/6,π/3]をあてはめるだけです。
計算すると
∫[π/6,π/3] sin(3x)sin(x)dx=(√3)/8

お礼

詳しい解説をありがとうございました
出した答えと数問は合っていたようなので良かったです
間違えた物はよく復習しておきます

回答ありがとうございました

回答No.2

NemurinekoNya

計算なので、自分でやらなければ、力にならない。

なので、方針だけ。

１　∫x^2・logxdx = ∫(1/3・x^3)'logxdx = 1/3・x^3・logx - ∫(1/3・x^3)・(logx)'dx

２　∫(e^2x)/(e^x-2)dx = ∫{e^x(e^x-2)+2e^x)/(e^x-2)dx
　= ∫e^xdx + 2∫(e^x)/(e^x-2)dx
後ろの積分は、t = e^xとおいて、置換積分をすれば求まるはず。

３　(24+3x)/(9-x^2) = (24+3x)/(3+x)(3-x) = A/(x+3) + B/(x-3)となるのではなかろうか？
　まず、AとBの連立方程式を解け！！

４ sinAsibB = (1/2)(cos(A-B) - cos(A+B))
とかいう三角関数の積和の公式があったような。

お礼

何となく道筋が見えてきそうです
回答ありがとうございました

回答No.1

stellavanity

ヒントのみで
１．部分積分を使いましょう
２．e^x = s とおいてみましょう
３．展開してみましょう
４．三角関数の公式を調べてみましょう

すべて簡単な問題ばかりですから自力で解けるように頑張ったほうがいいと思いますよ

お礼

回答ありがとうございました