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質問:この積分の問題ができません

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お礼率 20% (8/39)

この積分の問題ができません。誰かやり方を教えてください。(答えまでのプロセスも)
次の関数を積分せよ

e^√x
1/(X^3-1)
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回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

(A) e^√x は √x=y と置換すれば簡単です.

(B) 1/(x^3-1) は
(1)  1/(x^3-1) = (1/3){1/(x-1) - (x+2)/(x^2+x+1)}
と部分分数展開します.
{}の第1項は簡単.
第2項は,分母を x^2+x+1 = [x+(1/2)]^2 + (3/4) の形に平方完成して,
x + (1/2) = t とおけば,分母は t^2 + (3/4) の形.
分子は x + 2 = t + (3/2)
分子のtの方は,t^2 = u とでも置けば簡単.
(3/2) の方は,よく知られた 1/(t^2 + a^2) の形の積分に帰着できます.
結局,答は
(1/6) log |(x-1)^3 / x^3 -1| - (1/√3) arctan {(2x+1)/√3}


  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 56% (50/89)

(1) √x=tと置換すると、x=t^2 → 両辺tで微分するとdx/dt=2t → dx=2t・dt
これを与式に代入すると

∫e^√x・dx

=∫e^t・2t・dt

=2∫t・e^t・dt

=2(t・e^t-∫e^t・dt)

=2(t・e^t-e^t)

=2e^t(t-1)+C (C:積分定数)

(2)∫1/(X^3-1)・dx

=∫1/(x^2+x+1)(x-1)・dx

ここで1/(x^2+x+1)(x-1)を (ax+b)/(x^2+x+1)+c/(x-1)に部分分数に分解してa,b,cを求めるとa=1/3,b=2/3,c=1/3 (この計算は自分でやって下さい)
よって

∫1/(x^2+x+1)(x-1)・dx

=∫1/3・[(x+2)/(x^2+x+1)+1/(x-1)]・dx

=1/3・[∫(x+2)/(x^2+x+1)・dx+∫1/(x-1)・dx]・・・(x)

ここで分かりやすいように、(x)を(i)1/3・[∫(x+2)/(x^2+x+1)・dx]と
(ii)1/3[∫1/(x-1)・dx]に分けて考えます。

(i)=1/3・[1/2・∫(2x+4)/(x^2+x+1)・dx]

=1/6・[∫(2x+1+3)/(x^2+x+1)・dx]

=1/6・[∫(2x+1)/(x^2+x+1)・dx+∫3/(x^2+x+1)・dx

=1/6・log(x^2+x+1)+1/2・∫1/(x^2+x+1)・dx

=1/6・log(x^2+x+1)+1/2・∫1/[(x+1/2)^2+3/4]・dx

第二項について考える。x+1/2=yと置換するとx=y-1/2になるので両辺をyで微分するとdx=dyになる。これを第二項に代入すると、

1/6・log(x^2+x+1)+1/2・∫1/(y^2+3/4)・dy

さらに第二項について考える。y=√3/2・tanAと置換して両辺yで微分すると
dy=√3/2・1/cos^2 A・dAになるので、これを第二項に代入すると、

1/6・log(x^2+x+1)+1/2・∫[1/(3/4・tan^2 A+3/4)・√3/2・1/cos^2A]dA

=1/6・log(x^2+x+1)+3√3/16・∫[1/(tan^2 A+1)・1/cos^2A]dA

=1/6・log(x^2+x+1)+3√3/16・∫[cos^2 A・1/cos^2A]dA

=1/6・log(x^2+x+1)+3√3/16・A

y=√3/2・tanAと置換したので、Aについて解くとA=arctan(2/√3y)
x+1/2=yと置換したので、A=arctan[2/√3(x+1/2)]
よって(i)=1/6・log(x^2+x+1)+3√3/16・arctan[2/√3(x+1/2)]

(ii)=1/3[∫1/(x-1)・dx]

=1/3・log(x-1)

与式=1/6・log(x^2+x+1)+3√3/16・arctan[2/√3(x+1/2)]+1/3・log(x-1)

=1/6・log[(x-1)^2/(x^2+x+1)])+3√3/16・arctan[2/√3(x+1/2)]

答えがきれいじゃないので、合っているかどうか自信がありません。もし間違えていたら直してください。
  • 回答No.3
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

siegmund です.

2番目の問題,sumou111 さんの計算にちょっとミスがあるようです.
私の回答と比べますと,
(1/6) log |(x-1)^3 / x^3 -1| の第1項は本質的に同じ,
第2項が,
私の方は - (1/√3) arctan {(2x+1)/√3},
sumou111 さんの方は +3√3/16・arctan[2/√3(x+1/2)] です.
arctan の中身は同じですが,前の係数の符号と大きさが違います.

符号は,部分分数展開のミスから来ています.
a=-1/3,b=-2/3,c=1/3 が正しいです.

大きさの方は,

1/6・log(x^2+x+1)+1/2・∫[1/(3/4・tan^2 A+3/4)・√3/2・1/cos^2A]dA

=1/6・log(x^2+x+1)+3√3/16・∫[1/(tan^2 A+1)・1/cos^2A]dA

の1行目から2行目に移るところにミスがあります.
2行目の第2項の前の係数は
(1/2)×{(3/4)^(-1)}×(√3/2) = 1/√3
が正しいですね.

この2箇所を訂正すれば私の回答と同じになります.

1番目の問題は私の計算も sumou111 さんと同じです.

揚げ足取りみたいで失礼しました.
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