二次関数教えて下さい

質問

X~2-2mx+m~2-5=0の２根がともに１より大きい実数解をもつ場合のｍの値の範囲はいくらになるんでしょうか。会社の上司の子供さんから質問を受けて困っているんです。どなたか教えて下さい。

回答No.1

kajyukun · ベストアンサー

(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab a,b>1
a+b>1 より -(a+b)<-1 すなわち-2m<-1
m>1/2 ・・・(1)

ab>1より
m^2-5>1
m^2>6
2.4>m m>-2.4　・・・(2)

(1)、(2)より
2.4>m

だと思います。かきながら考えているので違ったらすいません。

回答No.7

hinebot

#3です。

#3の回答で一箇所間違ってました。

>これにあてはめると、a=1,b=-m,c=m^2-5 なので

b'=-m が正解。（ダッシュ記号が抜けてました）
b（ダッシュなし）の場合は、b=-2m で、判別式は#6さんの回答どおりです。

回答No.6

springside

横から口を出して恐縮ですが、hinebotさんが正解だと思います。

kajyukunさんのように計算だけでやるとすると、以下のようになります。

まず、実数解を持たなければならないので、
判別式=(-2m)^2-4(m^2-5)>0でなければならないが、判別式=5なので、ＯＫ。

２解をa,bとすると、
　　a>1, b>1
であり、これは、
　　a-1>0, b-1>0
ということで、これは、
　　(a-1)+(b-1)>0・・・(1)
　　(a-1)(b-1)>0・・・(2)
と同値（必要十分条件ということです）・・・※

解と係数の関係より、
　a+b=2m, ab=m^2-5
なので、
　(1)より、2m-2>0
　(2)より、m^2-2m-4>0
以上をともに満たすmは、m>1+√5（答）

※のところが重要で、
　「a>1, b>1」⇔「a+b>2, ab>1」
とするのは間違いで、
　「a>1, b>1」⇔「(a-1)+(b-1)>0, (a-1)(b-1)>0」
としなければなりません。

回答No.5

hinebot

#3です。

>２つの解は1より大きい数ですよね？
>a=0.5 b=6はだめになりますよ。

そうです。そのことを指摘しているのです。

a>1,b>1 ⇒ a+b>2 ab>1 は成り立ちますが
a+b>2 ab>1 ⇒ a>1,b>1 は成り立たないことを示したんです。
つまり、必要十分条件ではないといってるのです。

回答No.4

kajyukun

#1です。

#3さんへ。
２つの解は1より大きい数ですよね？
a=0.5 b=6はだめになりますよ。

回答No.3

hinebot

y= x^2-2mx+m^2-5　とおきます。
平方完成して
y= (x-m)^2 -5
となるので、２次関数y のグラフは下に凸（上が空いている）な放物線で、軸が x=m 頂点の座標は（m,-5)　と分かります。

頂点のｙ座標が負なので、mの値に関わらず元の方程式は２実数解を持つことが分かります。
（グラフは必ず、２点でｘ軸と交わるということです。）

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このことは普通は判別式を使います。
２次方程式ax^2+bx+c =0 の判別式は D =b^2-4acです。（解の公式のルートの中身なんですが、詳しい説明は省略します。）
特に ax^2+2b'x+c =0 （xの係数が偶数）のとき、D=b'^2-ac　です。
これにあてはめると、a=1,b=-m,c=m^2-5 なので
D=(-m)^2-1×(m^2-5)=m^2-m^2+5 = 5 > 0
と分かります。
--------------------------------------------------

話を戻します。
グラフを書けば分かりますが、２根がともに１より大きい実数解を持つには、グラフとｘ軸との交点のｘ座標（これが方程式の解です）の小さい方が１より大きいということです。
なので、まず軸が１より右側にないといけないので、
m>1 ---(1)
という条件が出ます。
（軸が１より左側にあると、少なくとも１つの解は１より小さくなります）

次に、２つの解をα、βとし仮にα＜βとします。
条件から　１＜α＜β　なのでグラフを見れば分かると思いますが、x=1のとき、y>0 でなければいけません。
これから
y=1^2-2m・1+m^2-5 = m^2-2m-4 > 0
よって、m<1-√5, 1+√5<m --- (2)
という条件がでます。
(1),(2)を両方満たす必要があるので、答えは m>1+√5

多分、これで合ってると思いますが。
ともかく、適当でもいいのでグラフを書いて（ｙ軸は必要ないでしょう）、この回答を見比べながら考えてみてください。（x=1と放物線の軸の場所との関係がポイントです）

#1さんの回答の場合
仮に a+b>2 ,ab>1 でも a>1,b>1 とは限りません。
a=0.5 b=6とすると
a+b=6.5>2, ab=3>1 ですが、a<1 です。

お礼

ありがとうございます。夕方までに解いてと言われていたので助かりました。

回答No.2

kajyukun

#1です。

さっそく間違い発見。
a+b>2ですね。
-(a+b)<-2
-2m<-2
m>1・・・(1)

お礼

ありがとうございます。帰ったら高校時代の参考書を引っ張り出して見てみます。