中学受験算数の問題（仕事算）教えてください

質問

中学受験の算数の問題です。答えは分かっているのですが、考え方がわかりません。
どうか教えてください、よろしくお願いいたします。

｛問題｝

１時間当たりの仕事量が違う太郎君、次郎君、三郎君の３人が、一日６時間ずつ５日間働いて
完成する仕事があります。初日は三郎君が休んだので、太郎君、次郎君の２人で６時間ずつ働き、
２日目から４日目は３人で６時間ずつ働きました。最終日は３人で７時間ずつ働くと完成する予定
でしたが、最終日に次郎君が休んだため、太郎君と三郎君が２人で１０時間３０分ずつ働いて
完成することができました。次の問いに答えなさい。

(1)三郎君が一人でこの仕事を終わらせるには何時間かかりますか？

(2)一時間当たりの、次郎君と三郎君の仕事量の比を求めなさい。

(3)仕事量に比例して賃金が支払われ、次郎君は４８０００円もらいました。
　　太郎君と三郎君はそれぞれいくらもらいましたか？

２０１３年立教新座中学の入試で出された問題だそうです。
ちなみに答えは、(1)１８０時間　　(2)２：１　　(3)太郎103,500円　三郎28,500円

(1)、(2)だけでもいいです。
小学生にも分かるように解説して頂けたらありがたいです。
どうかよろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#227653 · ベストアンサー

いろいろな解き方がありますが、「とにかく問題の内容を整理したい」ということなら、太郎君の１時間の仕事量を○、次郎くんの１時間の仕事量を△、三郎君の１時間の仕事量を□として書き出してみる、という方法があります。

まず、三人が６時間ずつ５日働くと終わるのですから、この仕事全体の量は
○×30＋△×30＋□×30
であらわせますね。

次に、最初の１日は太郎君と次郎くんが６時間ずつ、次の３日間は三人が６時間ずつ、最後の一日は三人が７時間ずつ働けば終わるのですから、この仕事全体の量は
○×31＋△×31＋□×25
でもあらわせますね。

この○×30＋△×30＋□×30と○×31＋△×31＋□×25は同じものです。ここで、左の式は□が５多く、右の式は○と△が１多いので、□５個＝○１個＋△１個だということがわかりますね。きちんと式に書くと
□×５＝（○＋△）×１
になります。
ここで比の基本を思い出しましょう。例えばA×２＝B×３ということがわかっていたらAとBの比が出せるのですが、わかりますか。
そうです、A：B＝３：２です。これがわからなかったら、手持ちのテキストで比の基本を復習しましょう。ここではわかっているということにして話を進めますよ。すると、これと同じように
□：（○＋△）＝１：５
ということがわかりますね。つまり太郎君と次郎くんの二人をあわせると三郎君の５倍の仕事ができるのです。

次に、最終日について見てみましょう。最終日は３人で７時間働けば終わる予定だったのですから、最終日の仕事量は
○×７＋△×７＋□×７
ですね。でも実際には太郎君と三郎君が10.5時間働いて終わらせたのですから、最終日の仕事量は
○×10.5＋□×10.5
ですね。つまり、○×７＋△×７＋□×７と、○×10.5＋□×10.5は同じです。とすると、さっきと同じように、△×７は（○＋□）×3.5と等しい、ということがわかります。だから
△：（○＋□）＝3.5：７＝１：２だということがわかります。

ここで□：（○＋△）＝１：５と、△：（○＋□）＝１：２の二つの式を並べて考えましょう。何か思いつくことがありますか。
そうです、比をそろえてしまえばいいのです。ここでは三人の合計を６になるようにそろえるのがいいですね。前の式はそのまま、後の式を２倍するだけですから。すると
□：（○＋△）＝１：５、△：（○＋□）＝２：４
となりますね。これで、□は１、△は２、○は３（５－２でも４－１でも出せます）だということがわかりました。太郎君と次郎くんと三郎君の１時間当たりの仕事量の比は３：２：１です。

あれれ、設問の（２）が先に出てしまいましたね。でもまあいいでしょう。三人の仕事量の比が出てしまえばあとは何を聞かれても出ますから。多分もう（１）も（３）も自力で出せるでしょう。よかったらやってみて下さい。一応解説をつけておくと

三人の１時間の仕事量の比が３：２：１だということは、三人あわせての仕事量は６だということです。この三人が30時間働けば仕事が終わるのですから、仕事全体は６×30で180ですね。これをもし三郎君が一人でやるとしたら、三郎君は１時間に１しかできないので、180÷１で180時間かかりますね。これが（１）です。

実際に三人が働いた時間を計算すると、太郎君は34.5時間、次郎くんは24時間、三郎君は28.5時間かかります。小数があって面倒なのでこれを整数比に直すと23：16：19ですね。これに１時間当たりの仕事量をかけると23×３：16×２：19×１ですから、69：32：19となりますね。これが三人の仕事量の比です。そして次郎くんは32の仕事で48000円もらえたのですから、１の仕事に対して48000÷32で1500もらえたのだということがわかりますね。とすると太郎君のもらえたお金は1500×69で出ますし、次郎くんのもらえたお金は1500×19で出ますね。これが（３）です。

これで終わりなのですが、それにしてもなぜこの問題では（１）が「三郎君が一人でこの仕事を終わらせるには何時間かかりますか」なのでしょう。どう考えればこれが先に出るのでしょうか。それはこうです。

初日に三郎君が休みましたね。ただ、それ以外は４日目まで予定通りみな１日に６時間ずつ働きました。そして最後の日に三人が７時間働けば終わるんでしたね。ということは初日に三郎君がやらなかった６時間分を、最後の日に三人が１時間ずつ多く働けばいい、ということです。言い換えると、「三人で働くと１時間かかる仕事を三郎君一人でやると６時間かかる」ということがここでわかってしまうのです。そして、一番最初の条件で、三人で働くとこの仕事は30時間で終わる、ということがわかっているので、三郎君ひとりでこれをやれば時間は30時間の６倍で180時間かかる、ということがわかるのです。

というわけで、初日と最終日を見比べることに気づけばこの問題は少し楽に解けるようになります。でも、それに気づかなくても条件をきちんと整理していけば正しく解けますから大丈夫。比の基本をしっかりマスターして複雑な仕事算も解けるようになって下さいね。

お礼

ありがとうございます。
とても丁寧に解説して頂いたおかげで、よく理解することが出来ました。わかりやすかったです。
ありがとうございました。