関学大入試、余事象の確率の問題です

質問

偶数の目が出る確率が2/3であるような、目の出方にかたよりのあるサイコロが２個あり、これらを同時に投げるゲームをおこなう。両方とも偶数の目が出たら当たり、両方とも奇数の目が出たら大当たりとする。このゲームをｎ回繰り返すとき、

(1)当たりまたは大当たりが少なくとも１回は出る確率を求めよ
(2)当たりと大当たりのいずれもが少なくとも１回は出る確率を求めよ
という問題なのですが

(1)の正解が、１-（4/9）＾ｎ
(2)の正解が、１-（8/9）＾ｎ-（5/9）＾ｎ+（4/9）＾ｎ
ではあるのですが

ベン図で考えると、大当たりが少なくとも１回は出る確率（Ａとする）と当たりが少なくとも１回は出る確率（Ｂ）とするがあり、Ａ∪Ｂが(1)の答えで、Ａ∩Ｂが(2)の答えで、Ａ∪Ｂバーがハズレということになると思うのですが、
大当たりが１回も出ない確率（Ａとする）と当たりが１回も出ない確率（Ｂとする）というベン図では答えは出ますでしょうか？

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

A={大当たりが1回も出ない事象}
B={当たりが1回も出ない事象}
-A={大当たりが少なくとも1回は出る事象}
-B={当たりが少なくとも1回は出る事象}
P(A)=(大当たりが1回も出ない確率)
P(B)=(当たりが1回も出ない確率)
とすると
P(A)={1-(1/3)(1/3)}^n=(8/9)^n
P(B)={1-(2/3)(2/3)}^n=(5/9)^n
P(A∩B)=(当たり大当たりどちらも1回も出ない確率)
P(A∩B)={2(2/3)(1/3)}^n=(4/9)^n
P(A∪B)=(当たりまたは大当たりのどちらかが1回も出ない確率)
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
だから

(1)
(当たりまたは大当たりが少なくとも1回は出る確率)
=P((-A)∪(-B))
=P(-(A∩B))
=1-P(A∩B)
=1-(4/9)^n

(2)
(当たりと大当たりのいずれもが少なくとも1回は出る確率)
=P((-A)∩(-B))
=1-P(A∪B)
=1-{P(A)+P(B)-P(A∩B)}
=1-P(A)-P(B)+P(A∩B)
=1-(8/9)^n-(5/9)^n+(4/9)^n

お礼

大変よくわかりました
ありがとうございました