正六角形を6等分し，5色で塗り分ける問題です。

質問

次のような問題です。
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正六角形の，向かい合う頂点を結び，等しい正三角形6個に分ける。
この6つの部分を，異なる5色で塗る。
ただし隣り合う部分は，異なる色で塗る。
塗り分ける方法は何通りあるか。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
異なる6色で塗り分けるのなら，円順列と成り，5！=120と簡単にできます。
ところが，6カ所を　5色，たとえば，「赤，青，黄，緑，白」で塗ると考えると
難しくなり，考えあぐねています。
どなたか，分かりやすく，明快な解答を教えて下さい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　香深

回答No.5

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

他の回答者に言われて気付いた。

＞・２個の場合

＞例えば、

＞赤　青　白　赤　黄　緑

＞とか。

このパターンの場合

赤　青　白　赤　黄　緑

と

赤　黄　緑　赤　青　白

は、同じです。

青と緑の間に挟まれた赤を起点にすると、どちらも

赤　青　白　赤　黄　緑

になっちゃいます。

上記のような「対称性」を考慮して考えると

（同じ色の間に１色挟まる時のパターンの数＋同じ色の間に２色挟まる時のパターンの数＋同じ色の間に３色挟まる時のパターンの数）÷２

が答えになります。

２で割るのは「対称性がある為に、同じ物を２重に数えているから」です。

答えは、（５！＋５！＋５！）÷２＝１８０です。

お礼

「同じ色の間に１色挟まるときのパターン」＝「同じ色の間に３色挟まるときのパターン」と考えてもよいのでしょうか。
これを　パターンAとしましょう。
そう考えると，

パターンAを数えてみると，

　「同じ色」＝「最初の色」の決め方が５通り
　残りは，４カ所あるので，４！通り。
　つまり，このパターンは５×４！＝５！

「同じ色の間に２色挟まるときのパターン」
これをパターンBとしましょう。

パターンBを数えてみます
これも，同じく５！通りですが，これは１８０度回転すると対称になるので，同じものを２回数えることになります。
そこで，この場合は５！÷２

　パターンA＋パターンB＝　５！＋５！÷２　
　　　　　　　　＝１２０＋６０＝１８０
　となります。

　つまり，chie65535 さんと同じ結論になりますが，
　この考え方でも良いのでしょうか。

　「対称性」と，Tacosan　さんの言われていることは，
　「回転すると同じものが出来る」といわれているのだろうと思いますが。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　香深

補足

お礼

chie65535 さん。
Tacosan　さん。
tsuyoshi2004　さん。
私のつたない質問を，一緒に考えて下さって
ありがとうございました。

chie65535 さんの解答が，正解ではと思いますので，
この質問を締め切ります。

よく分からない問題はまた質問しますので，教えて下さい。
まずは，皆さんにお礼まで。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　香深。

回答No.4

Tacosan

簡単に #1 の例を使ってみる.

次の 2つは同じでしょうか, それとも違うでしょうか?
・赤　青　白　赤　黄　緑
・赤　黄　緑　赤　青　白

補足

これは同じと考えるのでしょうか。香深

回答No.3

Tacosan

#1, #2 のどちらも同じ間違いをしている. つまり, とあるパターンを 2回数えてしまっている.

方針はあってるんだけど, 対称性を忘れてる.

お礼

教えていただきありがとうございます。
どのようなパターンを2回数えているのでしょうか。
最終の塗り分け数はいくらになるのでしょう。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　香深

回答No.2

tsuyoshi2004

２箇所に塗る色の場所を考えると、選択肢は１個飛ばした箇所に塗るか向かい合う場所に塗るかの２通りしかありません。
５色を「赤，青，黄，緑，白」とします。

仮に赤を２箇所に塗ることを考えると、
そうすると仮に赤を二箇所に塗るとすると残りの４箇所に塗り方は４！＝２４通りになります。
それで赤が１個飛ばした場所に塗るのと向かい合う場所に塗るという２通りがあるので、
２４×２＝４８通りです。
同様に青、黄、緑、白をそれぞれ二箇所に塗るということが可能なので、
４８×５＝２４０通りです。

回答No.1

chie65536（@chie65535）

「隣り合わないどれか２つは、同じ色で塗る」のを「１つ」として考えます。

例えば、

赤　青　赤　白　黄　緑　→　２個目の赤は無視して　赤　青　白　黄　緑　と考える

赤　青　白　赤　黄　緑　→　２個目の赤は無視して　赤　青　白　黄　緑　と考える

など。

ここで、

赤　青　赤　白　黄　緑

と

緑　赤　青　赤　白　黄

は、同一視します。「２個ある色である赤を起点にすれば、同じ配列」ですから。

ここで、同じ色のコマの間に別の色が何個あるか、を、別々に考えます。

・１個の場合

例えば、

赤　青　赤　白　黄　緑

とか。

・２個の場合

例えば、

赤　青　白　赤　黄　緑

とか。

・３個の場合

例えば、

赤　青　白　黄　赤　緑

とか。

ですが、これは、２番目の赤を起点に考えれば

赤　緑　赤　青　白　黄　

と同じですから、除外します。

なので、答えは「異なる５色を５つ並べた場合の組み合わせの総数×２」です。

具体的な数は書かなくても判りますよね？

この場合「２個ある色を起点に考える」ので「円順列」にならない事に注意が必要です。

お礼

教えていただきありがとうございます。
[異なる５色を５つ並べた場合の組み合わせの総数×２]
とは，5C5 ×　２　でしょうか。
となると，１　×　２　になるのでしょうか。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　香深

補足

お礼の方に，トンチンカンなことを書いたようで失礼しました。
「具体的な数は書かなくても判りますよね？」とありますが，
是非教えて下さい。　香深