ボールの並べ方の組み合わせについて

質問

ボールの並べ方の組み合わせについて

手元に7つのボール、白白黒黒黄青赤のボールがあります。
このとき、白、黒が少なくとも一箇所隣り合う並べ方の組み合わせはいくつあるのかという問題があります。

私の考え方だと、白、黒が少なくとも一箇所隣り合えばいいので、白、黒を一つづつ取り出し、ワンセットと考えて、白黒黄青赤(白黒)の6つの順列を考え、

(6!*2)/(2!*2!)　…( 6つの順列 * (白黒)の白黒入れ替え )/( 白白の入れ替え * 黒黒の入れ替え )
ではないかと考えました。
この解き方では360通りになるのですが、答えは1008通りになります。
どこの考え方で間違っているのでしょうか。
ご教授をお願いいたします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

どこが間違っているかと言うと、(2!*2!)で割っているところです。

白黒黄青赤(白黒)の6つの順列では、２つの白を交換したものを重複して数えているわけではないので、2!で割る必要はありません。

それでは(6!*2)だけでいいかというと、
例えば、「黄青赤白黒白黒」という並びの場合、「黄青赤(白黒)白黒」で数えた場合、「黄青赤白黒(白黒)」で数えた場合、「黄青赤白(黒白)黒」で数えた場合の３通りで数えているのでそれらの重複した分を引かなければなりません。

しかし、その考え方かなり複雑です。
(1)白黒黄青赤(白黒)の順列の数=6!=720
(2)白黒黄青赤(黒白)の順列の数=6!=720
(3)黒黄青赤(白黒白)の順列の数=5!=120
(4)白黄青赤(黒白黒)の順列の数=5!=120
(5)黄青赤(白黒)(白黒)の順列の数=5!/2=60
(6)黄青赤(黒白)(黒白)の順列の数=5!/2=60
(7)黄青赤(白黒)(黒白)の順列の数=5!=120
(8)黄青赤(白黒白黒)の順列の数=4!=24
(9)黄青赤(黒白黒白)の順列の数=4!=24
(1)+(2)-(3)-(4)-(5)-(6)-(7)+(8)+(9)=1008

通常は、全体の順列の数から白黒が隣り合っていない場合の数を引くという方法が一般的だと思います。

黒以外の５個の並びは、黄青赤をＸで表すと、
白白ＸＸＸ
白Ｘ白ＸＸ
白ＸＸ白Ｘ
白ＸＸＸ白
Ｘ白白ＸＸ
Ｘ白Ｘ白Ｘ
Ｘ白ＸＸ白
ＸＸ白白Ｘ
ＸＸ白Ｘ白
ＸＸＸ白白
の１０パターンがあります。
その中で、白に隣り合わないように黒を置く方法は、
白白ＸＸＸの場合は、
白白Ｘ黒黒ＸＸ、白白Ｘ黒Ｘ黒Ｘ、白白Ｘ黒ＸＸ黒、白白ＸＸ黒黒Ｘ、白白ＸＸ黒Ｘ黒、白白ＸＸＸ黒黒
の６通り
白Ｘ白ＸＸの場合は、
白Ｘ白Ｘ黒黒Ｘ、白Ｘ白Ｘ黒Ｘ黒、白Ｘ白ＸＸ黒黒
の３通り
他も同様に考えれば、６通りのパターンが４個、３通りのパターンが６個あるので、
6*4+3*6=42

よって、
7!/(2!*2!)-42*6=1008

お礼

大変丁寧な回答ありがとうございます。
(白黒)で考えるのは厳しいですね…
解き方をわかりやすく説明してくださり、とても助かりました。
ありがとうございました。