箱に入っているボールの割合の区間推定

質問

箱にたくさんの白と青と赤のボールが入っているとします。
この箱からランダムに１つボールを取り出し、色を記録し、取り出したボールを戻す操作を繰り返して行います。

このとき、箱に入っている青と赤のボールの割合を推定したいのですが、どのようにすればよいでしょうか。
ただし、青と赤のボールの個数は同じです。

例えば、青のボールを取り出した確率が12%、赤のボールが18%であった場合、
それぞれについて12%±α、18%±βとすればよいのでしょうか。

あるいは両方とも同じ個数だけ入っているのがわかっているので、
両方を足して、青か赤のボールが出る確率が30%とし、30%±γ　として、
これを2で割って15%±(γ/2)と計算するのでしょうか。

回答No.2

takurinta · ベストアンサー

取り出した後で戻しているので、記録した三色のボールの数は多項分布に従うことになります。そのため、普通ならば多項分布の確率の推定方法を適用することになりますが、「青と赤のボールの個数は同じ」という強力な条件があるので、二項分布で推定してやればよいということになります。
すなわち、「あるいは」から先に書いてある方法で良いと思います。nanako_04さんがγとしているものについてはWikipedia「二項分布」のページで「正規分布」と書かれているセクションの下の方に式が書いてあります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E5%B8%83
95%なら、1.96*√{p*(1-p)/n}, ただし、nはボールを取り出した回数 (赤、青、白全ての合計)。1.96は、大雑把にはWikipediaにある2でいいです。

多項分布の推定についてはGoogle検索の結果を参考URLに貼っておきますので、興味があればそちらもどうぞ。

参考URL：

https://www.google.co.jp/search?q=multinomial+probability+estimation

お礼

多項分布の推定も調べてみます。
回答ありがとうございます。

回答No.3

MagicianKuma

蛇足ですが、十分試行回数が大きいとき、取り出した結果の割合が18%,12%となった場合、
そもそも、「青と赤のボールの個数は同じです」が正しいのかどうか疑ってかかる必要があります。
もしくは、「任意(無作為)に取り出された」かどうかを疑ってかかる必要があります。

お礼

存じております。

回答No.1

bgm38489

１５％が正しいですね。
赤・青の個数は同じ、と分かっているのですから。白のボールを取り出した確率が７０％だったわけでしょ？だったら、残り３０％、赤、青はともに、１５％です。
％は確率ですから、±αはいりません。確率はあくまで、これぐらいの割合だ、と言っているだけです。
全体のボールの数が１００個であったなら、赤・青のボールの数は、共に１５±α個です。±αは、日本語で言えば「前後」ということ。すなわち、赤・青のボールの数は１５個前後。

お礼

改めて回答を読み直していますが、ちょっとわからない表現があります。

> ％は確率ですから、±αはいりません。確率はあくまで、これぐらいの割合だ、と言っているだけです。

これはどういう意味なのでしょうか。通常、区間推定ではｘ±α％（あるいは、ｘ％～ｙ％）という表現をすると思うのですが、そうではなく確定的に決められるという意味でしょうか。

補足

> ％は確率ですから、±αはいりません。

わかりにくくてすいません。
例えば信頼水準99%とかで区間推定をしたいのです。
αやβは２σや３σだと思ってください。