箱に入っているボールの個数による確率の変化
- 問題文では、箱に2個の赤いボールとn-2個の白いボールが入っているという状況が与えられています。
- 箱から3個のボールを取り出す際に、2個が白いボールであり、1個が赤いボールとなる確率をP(n)と表します。この確率はP(n) = (6(n-3))/(n(n-1))と表されます。
- P(n)-P(n+1)を求めると、P(n)-P(n+1) = 6/(n(n+1)(n+2))となります。
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【問題】箱に2個の赤いボールとn-2個の白いボールが入っている。(n=3,4,5,・・・) （１）略 （２）箱から3個のボールを取り出すとき、2個が白、1個が赤となる確率をP(n)とおく。このとき、P(n)={6(n-3)}/{n(n-1)}であることを証明せよ。ただし、どのボールも取り出される確率は等しいとする。 （３）P(n)-P(n+1)を求めよ。 （４）p(n)が最大になる確率を求めよ。 （２）からわかりません＾＾； 数学的帰納法を使おうとしてn=3のとき成り立つ。として、次にn=kのとき成り立つと仮定して、n=k+3のとき成り立つことを示そうとしたのですが。。。できません＾＾； どなたかよろしくお願いします。
- english777
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こんばんわ。＾＾ (2)と(3)は、素直に計算しましょう。 (2) 「分母」と「分子」にわけておきます。 ・ボールは全部で何個ありますか？そこから 3個を選ぶ組合せの数が「分母」です。 ・「分子」は、n-2個から 2個の白、2個から 1個の赤が選ばれればよいわけで。 (3) (2)で答えはわかっているので、計算するのみです。 (4) (3)の結果を使います。 P(n+1)- P(n)とした方がわかりやすいと思いますが、これは「変化量」を表しています。 つまり、 ・P(n+1)- P(n)＞ 0ならば増えている ・P(n+1)- P(n)＞ 0ならば減っている ということを表します。 n≧ 3ということを考えれば、＋－の符号を決める項は限定されてきます。 微分で符号が変わるところが極値になることと同じような考え方です。
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- naniwacchi
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#1です。 ＞（２）についてなのですが、普通に考えるときは(n≧４)でなければならない。ってことはないのですか?? おお、いいところに着目していますね。 わたしは単に問題文で、「(n=3,4,5,・・・)」と書かれていたところしか見てませんでした。＾＾； n= 3を代入すると、P(3)= 0となりますね。 そして、実際には 赤：2個、白：1個が箱の中に入っている状況なので、確かに確率は 0ですね。（求められている事象は絶対起きない） いまの問題は帰納法は適用するのは、難しいです。 というのは、ボールが n個のときと n+1個のときを結び付けるところがない（探すのが難しい）からです。 なにか連続している試行の n回目と n+1回目であれば、結びつきはでてきますが、いまはそういう状況ではないですね。＾＾
お礼
ありがとうございます。 助かりました('▽'*)ﾆﾊﾟｯ♪ またよろしくお願いします＾＾
- 4028
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＞次にn=kのとき成り立つと仮定して、n=k+3のとき成り立つことを示そ うとしたのですが ｎ＝ｋの次はｎ＝ｋ＋１です。
お礼
ありがとうございました。
補足
どうすればいいのでしょうか?? ここでは帰納法は適していないのでしょうか＾＾；??
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お礼
ありがとうございました。。。
補足
こんばんわ。 回答ありがとうございます。 （２）についてなのですが、普通に考えるときは(n≧４)でなければならない。ってことはないのですか?? 解答を書くときに、n=3のことについて触れることはしなくていいのでしょうか? もし、言わなければならないときはどのように記せばいいのでしょうか？？＾＾； よろしくお願いします。