「箱の中にボールの残る確率」に関する質問です！

質問

直線状にn個並んだ箱の中に、全て1個ずつボールが入っています。但し、ボールは1/2の確率でその場に留まりますが、1/4の確率で1つ右側の箱に、同じく1/4の確率で1つ左側の箱に動きます。また、箱の外からボールが入ってくることはなく、ボールは1つの箱の中に何個でも入れられます。
この時、直線状にn個並んだ箱の中に、ボールが3個以上残る確率を計算したいと思います。例によって、1つずつパターンを書いて地道に計算することはできたのですが、式の形に表せていません。どなたか、教えていただけますと幸いです。よろしくお願い致します。

ちなみに、最外の箱より1つ内側の箱内にあるボールが、箱の外に出てしまう確率は、（最外の箱の中にあるボールが箱の外に出る確率（＝1/4））×（1/4）^2となります。

回答No.10

stomachman · ベストアンサー

ANo.7へのコメントについてです。

> Bのボールが3回目の試行で外れるとすると、A（もしくはC）のボールが外れた上で、
> Bのボールは、「動かない」「左（もしくは右）移動」「左（もしくは右）移動」となりますので、

　いーえ、ならないですよ。
　ご質問の文言によれば、ボールは1つの箱の中に何個でも入る。ということは、最初Bにあったボール（ボールB）はボールAを追い越してボールAよりも左に行くこともできるし、ボールCを追い越してもっと右に行くこともできる。つまり、ボールA,CがどうなったかということとボールBの運命とは全く無関係なのです。
　最初Bにあったボールが最短2回目の試行でどっちかの奈落に落ちる場合は
「左移動」「左移動」確率1/16。
「右移動」「右移動」確率1/16。
のどっちかですから、合計の確率は1/8。
　また、そのボールが3回目までに落ちる場合は
「2回目の試行で奈落に落ちる」確率1/8。
「左移動」「動かない」「左移動」確率1/32。
「右移動」「動かない」「右移動」確率1/32。
「動かない」「左移動」「左移動」確率1/32。
「動かない」「右移動」「右移動」確率1/32。
のどれかであり、そして、これらのうちどれかが生じる確率は合わせて1/4です。

お礼

返信が遅くなり、大変申し訳ありません。
確率というものは、本当に難しいですね。
示していただいて、ようやく何パターンか忘れていることに気づきました。
ありがとうございざした。

回答No.9

B-juggler

何番目か忘れました。２，４かな？

えっと、偏微分方程式まで出てくるんですね！　Σ('◇'*)エェッ!?

もうちょっと分かりませんが・・・。　代数学専門＾＾；
　σ(・・*)数学科じゃない～電気工学出身。

で、ここなんだけれど。既出ですがね。

＞この感じで、試行を続けていくと、その都度「外れる確率」は
＞低下して0に近づいていくのではないかと思います。

これはこれでいいと思うのですがね。

ただ、問題になるのは「累積するってこと」だと思う。

外れる確率は、どんどんと小さくなるのかな？とは思うけれど、
それまでに落ちてはいないか？
また、結局Ａにいれば、どんな状況だろうと、（１／４）で左に落ちないかな？

これを考えると、無限回だと「外れる確率＝１」だと思うけどね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

補足

返信が大変遅くなり、申し訳ありません。
御助言を元に、確率の復習をしてみました。
確かに、私が提示した条件ですと、最終的には「外れる確率＝1」になっていくようです。
もう一度、条件を考え直してみたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.8

nag0720

＞つまり、Bのボールが「外れる確率」は、n=3の時に最も大きく1/32、n=4の時に1/64と続き、Σ（Bのボールが外れる確率）≒1/32となるにではないでしょうか？

Bのボールが２回目の試行で右に外れる確率は1/4×1/4、左も同様なので、箱の外に出る確率は、
1/4×1/4×2＝1/8

３回目の試行で箱の外に出る確率は、
(1/4×1/2×1/4＋1/2×1/4×1/4)×2＝1/8

４回目の試行で箱の外に出る確率は、
(1/4×1/2×1/2×1/4＋1/4×1/4×1/4×1/4＋1/2×1/4×1/2×1/4＋1/2×1/2×1/4×1/4＋1/4×1/4×1/4×1/4)×2＝7/64

５回目の試行で箱の外に出る確率は、計算式は省きますが3/32となります。

で、
２回目までに箱の外に出る確率は、1/8
３回目までに箱の外に出る確率は、1/8＋1/8＝1/4
４回目までに箱の外に出る確率は、1/4＋7/64＝23/64
５回目までに箱の外に出る確率は、23/64＋3/32＝29/64

というように、試行回数が増えるにしたがって、箱の外に出る確率はどんどん累積されて大きくなっていきます。
いわば単調増加ですから、決して２回目の試行で外れる確率に収束することはありません。

お礼

返信が大変遅くなり、申し訳ありません。
丁寧に示してくださり、私の確率の考え方が間違っていることがよく分かりました。
今一度、勉強し、条件から考え直してみたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.7

stomachman

両端の箱の外にそれぞれ奈落の箱を設置し、それらの番号を0およびn+1とします。すると、「箱の外からボールが入ってくること」はないということを言い換えれば、ひとたび奈落に入ったボールは二度と奈落から出られない、ってことです。
　さて、ボール同士は互いに何の相互作用もしない（ボールは1つの箱の中に何個でも入れられる）から、複数のボールをいっぺんに考える必要はなくて、ただ「最初に箱kにあったボールがmステップ後に奈落に落ちている確率P(k,m)（丁度mステップで落ちる場合だけじゃなく、mステップが経過する前に落ちる場合も含む）」だけを考えれば良いんです。
　各箱k (k=0～n+1)にあるボールがmステップ後に地獄に入っている確率をP(k,m)とすると、ご質問にお書きの移動の仕方に従えば漸化式
　　P(k,m) = (P(k-1,m-1)+2 P(k,m-1)+P(k+1,m-1))/4　 (k=1～n, m>0)
が成立ちます。ただし、
　　P(0,m)=1, P(n+1,m)=1　（奈落に入ったら出られない）
　　P(k,0) = 0 (k=1～n)　　　（0回の移動では何も奈落に落ちない）
である。表計算ソフトを使えば、P(k,m)がたちどころに計算できますね。

　ボールが最初にどの箱に入っていたかには関係なく、そのボールはいずれどっちかの奈落に落ちる。つまりm→∞のときP(k,m)=1 (k=0～n+1) になるわけで、ご質問の答は「ボールが（3個どころか）ひとつも残らない確率が1である」ということ。

　むしろ問うべきは、mが有限のときにどうなるかでしょう。それには上記の漸化式を真面目に検討する必要があります。ですが、もうちょっとラクをする手があります。
　というのは、この漸化式は、x = (2k-n)/n, t = 2m/nとおいて n→∞ とすると、1次元の熱方程式（拡散方程式）
　　(∂/∂t)P = ((∂^2)/(∂x^2))P
になります。言い換えれば、「P(x,t)は上記の微分方程式に従う。ただし、両端P(1,t), P(-1,t)がいつも値1に維持されていて、その間の部分(-1＜x＜1)は初期値がP(x,0)=0である。時間tが経つとP(x,t)はどうなるか。」という、境界値と初期値が指定された偏微分方程式の問題を解けば、箱の数nがものすごく多いときにPを連続関数で近似した近似解が得られる訳です。この偏微分方程式についてなら、いっぱい資料が見つかるでしょう。それを使って、たとえば
　　P(k,m) ≒ 1- exp(-αm)
である（ただしαはkだけで決まる係数）ということが分かるはず。

補足

御回答ありがとうございます。

例えば、左から順にA,B,Cの3つの箱があるとして
1回目の試行で外れ得るのはAとCのボールのみです。
Bのボールは最も早くて、2回目の試行で外れます。
Bのボールが3回目の試行で外れるとすると、A（もしくはC）のボールが外れた上で、Bのボールは、「動かない」「左（もしくは右）移動」「左（もしくは右）移動」となりますので、「外れる確率」は約1/64かと思います。
この感じで、試行を続けていくと、その都度「外れる確率」は低下して0に近づいていくのではないかと思います。
つまり、Bのボールが「外れる確率」は、n=3の時に最も大きく1/32、n=4の時に1/64と続き、Σ（Bのボールが外れる確率）≒1/32となるにではないでしょうか？（かなり大雑把な近似ですが。）

これは間違いでしょうか？

回答No.6

nag0720

＞仮に、n=3で箱を左から順番にA、B、Cとします。
＞この時、Aの箱の中に入っているボールに注目しますと、そのボールが1回の試行で外れる確率は1/4です。2回目の試行で外れる確率は1/4以下となり、試行を重ねるごとに低下していくと思います。つまり、かなりアバウトですが、このボールの外れる確率は1/4＋αに収束していくと考えました。

この考え方自体は間違っていませんが、どうしてα＝０としたんでしょうか。
試行を重ねればボールの外れる確率は１に収束します。
無限回の試行でボールが残る確率は０です。

k回目の試行で、A,B,Cの箱に残るボールの数の期待値をA[k],B[k],C[k]とすると、
A[k]=(1/2)A[k-1]+(1/4)B[k-1]
B[k]=(1/4)A[k-1]+(1/2)B[k-1]+(1/4)C[k-1]
C[k]=(1/4)B[k-1]+(1/2)C[k-1]
という漸化式が成り立ちます。

A[0]=B[0]=C[0]=1　を初期値として、エクセルなどで計算してみれば一目瞭然です。

補足

御回答ありがとうございます。

例えば、左から順にA,B,Cの3つの箱があるとして
1回目の試行で外れ得るのはAとCのボールのみです。
Bのボールは最も早くて、2回目の試行で外れます。
Bのボールが3回目の試行で外れるとすると、A（もしくはC）のボールが外れた上で、Bのボールは、「動かない」「左（もしくは右）移動」「左（もしくは右）移動」となりますので、「外れる確率」は約1/64かと思います。
この感じで、試行を続けていくと、その都度「外れる確率」は低下して0に近づいていくのではないかと思います。
つまり、Bのボールが「外れる確率」は、n=3の時に最も大きく1/32、n=4の時に1/64と続き、Σ（Bのボールが外れる確率）≒1/32となるにではないでしょうか？（かなり大雑把な近似ですが。）

これは間違いでしょうか？

回答No.5

B-juggler

Ｎｏ．２，３(o｀・ω・)ゞデシ!!

自己レスをちょっと。数値は全然違う＞＜　ごめんなさい。

｛１－（１／４）｝＾２　ではないね＞＜　両側から落ちるとすれば。

数式どころか、計算がおぼつかない＞＜

数え上げだとしても、わけの分からないものになると思いますよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.4

naniwacchi

#1です。
補足ありがとうございます。それにしてもだいぶややこしいですね。＾＾；
いただいた補足などから考えたことを以下つらつらと。

1) 複数回の「試行」について考えるのは難しい。
#2さんも書かれているように漸化式を連立させればいいのですが、
ボールが出ていくという過程もあるため、非常に複雑になります。
ただ、一度外に出たボールは入ってこれないことから考えると、
無限回の操作では確率が 0になることは予想できます。

2) 逆に 1回の試行だと面白くない。
n≧ 3でなければなりませんが、n＝ 3または n＝ 4でないと面白味がありません。
n≧ 5に対しては、1回の試行では必ず 3個以上のボールが残るからです。

3) 一つのボールが m回の試行で出ていかない確率を考える。
複数回の試行を考えるとき、
試行の途中で一つの箱に 2個以上のボールが入っていることも考えられます。
このときについて確認していませんでしたが、それぞれのボールは独立して移動する
（独立して問題に書かれた確率に従って移動する）ということであれば、
k番目の箱に入っていたボールが m回目が終わってもどこかの箱に入っている確率は
考えられるかもしれません。

非常に複雑な問題になりますね。

補足

あけましておめでとうございます。
引き続きよろしくお願い致します。

複雑な条件かつ条件の記述漏れが多くて申し訳ありません。
私は、それぞれのボールが「箱から外れない確率」の積を、求めました。

仮に、n=3で箱を左から順番にA、B、Cとします。
この時、Aの箱の中に入っているボールに注目しますと、そのボールが1回の試行で外れる確率は1/4です。2回目の試行で外れる確率は1/4以下となり、試行を重ねるごとに低下していくと思います。つまり、かなりアバウトですが、このボールの外れる確率は1/4＋αに収束していくと考えました。

この考え方でいきますと、AおよびCの箱の中のボールが外れない確率は近似的に3/4。また、Bの箱の中のボールが外れるためには、A（もしくはC）の箱の中のボールが外れた（1/4）上で、Bのボールが最低2回動かねばなりません（（1/4）^2）ので、2×｛(1/4)×(1/4)^2｝で約1/32となります。（先程は、2を掛けることを忘れておりました。）つまり、Bの箱の中のボールが外れない確率は約31/32となり、ボールが3つとも外れない確率は、（3/4）×（31/32）×（3/4）で約9/16としました。

回答No.3

B-juggler

Ｎｏ．２(o｀・ω・)ゞデシ!!

補足了解だけど・・・。全体でボール３個以上ね。

ちょっとまって？　移動制限はないんだよね？

０に収束しないかなぁ？

＞例えば、n=3の時にボールが3個残る確率は近似的に、(3/4)^2×(1-(1/4)^3)で約9/16となります。

これをもうちょっと説明して欲しいかも？

片側からしか出て行かない？　よく分からない＞＜

σ(・・*)はこう考えたけれど。

左から箱を　ＡＢＣ　とします。スタート時に、各一個ずつのボールが入っている。
　これ条件ね。

例えば、Ａの箱から、左に動く（１／４）で　一発でアウトだね？

おなじく　Ｃの箱から、右に一つ動いてもアウト。

Ｂからは、どっちか（ＡかＣ）に移動したら、上の二つと同じ事だから、

何回移動してもいいのなら、どれかが出て行くことにはならないかなぁ。

近似値出してある式に、簡単にいけるんだろうか？

一回目だと、｛１－（１／４）｝＾２　でいいはずなんだけど。
　＃ＡとＣしか考えなくていいから。　３個の箱のときね。

２回目は、動いていない場合もあるし、Ａに二個、Ｂに０個、Ｃに一個とか

いろんなパターンがありそうだから、簡単には出せないはずだけど・・・。

近似値の式をどこまで計算したか、教えてもらえないだろうか。

無限回だとすると、どこかで落ちると思うけどなぁ・・・。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

Ａ側からは落ちないとするのかな？
でも結局は・・・。

補足

あけましておめでとうございます。
引き続きよろしくお願い致します。

複雑な条件かつ条件の記述漏れが多くて申し訳ありません。
私は、それぞれのボールが「箱から外れない確率」の積を、求めました。

仮に、n=3で箱を左から順番にA、B、Cとします。
この時、Aの箱の中に入っているボールに注目しますと、そのボールが1回の試行で外れる確率は1/4です。2回目の試行で外れる確率は1/4以下となり、試行を重ねるごとに低下していくと思います。つまり、かなりアバウトですが、このボールの外れる確率は1/4＋αに収束していくと考えました。

この考え方でいきますと、AおよびCの箱の中のボールが外れない確率は近似的に3/4。また、Bの箱の中のボールが外れるためには、A（もしくはC）の箱の中のボールが外れた（1/4）上で、Bのボールが最低2回動かねばなりません（（1/4）^2）ので、2×｛(1/4)×(1/4)^2｝で約1/32となります。（先程は、2を掛けることを忘れておりました。）つまり、Bの箱の中のボールが外れない確率は約31/32となり、ボールが3つとも外れない確率は、（3/4）×（31/32）×（3/4）で約9/16としました。

回答No.2

B-juggler

足りないのを補足してもらわないと答えようがないので、
早めにお願い。

移動する回数ね（一つ）。
＞ボールが３個以上残る　この表現が分からない（二つ）。

ボールの入った箱が３個残るってことかな？

ｎ≧３　が成立していないとダメそうだけど・・・。

単純に考えていくと、ｎ＝３から順に、並べていって、

漸化式かな？　で行くのがはやそうな気がするけれど。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

補足

説明不足で、申し訳ありませんでした。

移動回数に制限は設けていなかったのですが、これでは難しいでしょうか？

例えば、n=3の時にボールが3個残る確率は近似的に、(3/4)^2×(1-(1/4)^3)で約9/16となります。

n=4の時にボールが3個残る確率は近似的に、2×(1/4)×(3/4)×(1-(1/4)^3)^2で約3/8。
同じく、n=4の時にボールが4個残る確率は近似的に、(3/4)^2×(1-(1/4)^3)^2で約9/16となります。
そして、n=4の時にボールが3個以上残る確率は、15/16(=3/8＋9/16)となります。

もしかしたら、確率を求める上では、この問題の条件には欠点があるかもしれませんが、可能でしたら、解法を御教えください。よろしくお願い致します。

回答No.1

naniwacchi

いくつか確認させてください。

一つ目
＞この時、直線状にn個並んだ箱の中に、ボールが3個以上残る確率を計算したいと思います。
とは、「全部の箱に入っているボールの合計 3個以上である確率」ですか？
それとも、「3個以上入っている（残っている）箱が存在する確率」ですか？

二つ目
試行回数（箱に留まる／左に移動する／右に移動する）は、1回限りですか？

三つ目
文末にあるとおり、端にある箱からはボールが出ていくこともある（確率 1/4で）ということですね。
nについては、n≧ 3以外に条件はないですか？

補足

説明不足で、申し訳ありませんでした。

求めたいのは、「全部の箱に入っているボールの合計 3個以上である確率」です。また、移動回数に制限は設けていなかったのですが、これでは難しいでしょうか？

例えば、n=3の時にボールが3個残る確率は近似的に、(3/4)^2×(1-(1/4)^3)で約9/16となります。

n=4の時にボールが3個残る確率は近似的に、2×(1/4)×(3/4)×(1-(1/4)^3)^2で約3/8。
同じく、n=4の時にボールが4個残る確率は近似的に、(3/4)^2×(1-(1/4)^3)^2で約9/16となります。
そして、n=4の時にボールが3個以上残る確率は、15/16(=3/8＋9/16)となります。

もしかしたら、確率を求める上では、この問題の条件には欠点があるかもしれませんが、可能でしたら、解法を御教えください。よろしくお願い致します。