ボールの個数と確率（続き）

質問

前回の質問では、質問の意図が伝わらなかったため、質問しなおします。
（前回）http://okwave.jp/qa/q7973355.html

３つの箱Ａ、Ｂ、Ｃがあり、それぞれ10個のボールが入っているとします。
箱Ａには赤いボールが１個、白いボールが９個あり、
箱Ｂには赤が５個、白が５個、箱Ｃには赤が８個、白が２個入っています。
　Ａ：●○○○○○○○○○
　Ｂ：●●●●●○○○○○
　Ｃ：●●●●●●●●○○

無作為に箱を選択し、箱の中のボールを何回か取り出すことで、
選択した箱がＡ，Ｂ，Ｃのどれなのかを予想することを考えます。

箱の中のボールを１つ取り出し、また箱に戻す操作を10回繰り返したとき、
赤が１個、白が９個だった場合、
選択した箱がＡ、Ｂ、Ｃである確率はそれぞれいくつになるのでしょうか。
どのように計算したら、確率が産出できるのでしょうか。

また、３つの箱からの選択ではなく、
単に箱にボールが10個入っているという場合に同じ操作を行い、
赤が１個、白が９個となったら、
箱に赤が１個、２個、３個、...、９個入っている確率はそれぞれどのようにすれば
求められるのでしょうか。

回答No.4

MagicianKuma · ベストアンサー

>事前に何も情報がない場合に同じ確からしさと考えても不合理ではないのはなぜですか。
なんの情報もないのでどんな仮定をおいてもある意味不合理はない。といってしまうと身もふたもないけれど・・・
私の主観です。それ以上でもそれ以下でもありません。
>二項分布などを考えなくてもよいのでしょうか。
考えて【も】よいですよ。考えなくてもよいですよ。あなたの主観的な確信度ですから。
たとえば、今回の箱は、人が用意して作られたとしましょう。で、箱の中に1個づつ玉を入れていく場合、無意識に赤白を適当に選んで入れるだろうなぁと確信するなら事前分布を二項分布で仮定するのもありです。

お礼

なるほどよくわかりました
ありがとうございます

回答No.3

naniwacchi

#1です。

＞最初に箱に入っている赤の個数が
＞０個のときと５個のときで同じ確率と考えるということでしょうか。

そこは自分で答えを書かれているような・・・
＞箱の中のボールを１つ取り出し、また箱に戻す操作を10回繰り返したとき、
＞赤が１個、白が９個だった場合

先の回答でも書いていますが、上記のような「結果」が起きたときに
箱の中身がどうなっているかの確率を計算しています。
ということは、赤の個数が 0個や 10個のときはすでに除外されていることになります。

お礼

No4の回答で解決しました。

回答No.2

MagicianKuma

質問１
無作為に箱を選択するのですから、箱を選んだ時点でAかBかCかは同じ確からしさと考えて良い。P(A)=P(B)=P(C)=1/3
事象Rを「箱から復元抽出を10回試行したとき、赤1回白9回でた。」とします。
箱がAであったという条件の元、事象Rの確率を計算すると.
P(R|A)=10C1*(1/10)^2*(9/10)^9≒0.3874 同様に
P(R|B)=10C1*(5/10)^1*(5/10)^9≒0.0098
P(R|C)=10C1*(8/10)^1*(2/10)^9≒0.000004
ここから、Rという結果が得られたという条件のもと、Aである確率、Bである確率、Cで確率は
P(A|R)=P(R|A)P(A)/(P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)+P(R|C)P(C))≒0.3874/0.3972≒0.98
P(B|R)=P(R|B)P(B)/(P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)+P(R|C)P(C))≒0.0098/0.3972≒0.02
P(C|R)=P(R|C)P(C)/(P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)+P(R|C)P(C))≒0.000004/0.3972≒0.00
となります。

質問２　
次の様に事象を定義します。
事象k:箱に赤いボールがk個入っている。
事象R:箱から復元抽出を10回試行したとき、赤1回白9回でた。
さて試行前に、箱に何個赤が入っているか事前に何の情報もないとすれば、k=0～10は同じ確からしさと考えても不合理でない。
なので、箱に赤いボールがｋ個入っている確率P(k)=1/11 (0≦k≦10)と置きます。
今、事象kという条件のもとで、事象Rとなる確率を計算すると、抽出が無作為であれば、P(R|k)=10C1*(k/10)^1*(1-k/10)^9となる。
よって、Rという結果が得られたという条件のもとでkである確率は、
P(k|R)=P(R|k)P(k)/Σ(P(R|k)P(k)) (k=0～10) で求められます。

お礼

> さて試行前に、箱に何個赤が入っているか事前に何の情報もないとすれば、k=0～10は同じ確からしさと考えても不合理でない。

事前に何も情報がない場合に同じ確からしさと考えても不合理ではないのはなぜですか。
二項分布などを考えなくてもよいのでしょうか。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
「赤：1個、白：9個」という「結果」が起きたときに、A、B、Cである確率とということですから、
　p(A)＝ Aから赤：1個、白：9個を取り出す確率
　p(B)＝ Bから赤：1個、白：9個を取り出す確率
　p(C)＝ Cから赤：1個、白：9個を取り出す確率

を計算し、
P＝ p(A)+ p(B)+ p(C)に対する p(A)、p(B)、p(C)の比を求めればよいと思います。
（赤：1個、白：9個という事象に対する p(A)、p(B)、p(C)の割合を求めている）

p(A)であれば、1回の試行で赤を取り出す確率は 1/10、白を取り出す確率は 9/10なので、
　p(A)＝ 10Ｃ1* (1/10)* (9/10)^9

となります。

以下、数字が大きくなってしまうので、電卓で計算してみると、
　p(A)/P≒ 0.9754
　p(B)/P≒ 0.0246
　p(C)/P≒ 0.00001

となります。

＞単に箱にボールが10個入っているという場合に同じ操作を行い、
＞赤が１個、白が９個となったら、
＞箱に赤が１個、２個、３個、...、９個入っている確率はそれぞれどのようにすれば
＞求められるのでしょうか。
上の p(A)の計算式において、1/10や 9/10の数字が変わるだけです。
赤が 2個であれば、10Ｃ1* (2/10)* (8/10)^9となります。

お礼

> 上の p(A)の計算式において、1/10や 9/10の数字が変わるだけです。
> 赤が 2個であれば、10Ｃ1* (2/10)* (8/10)^9となります。

最初の例は３つの箱からランダムに選択しましたが、そうでない場合も等確率で選択されるということでしょうか。
最初に箱に入っている赤の個数が０個のときと５個のときで同じ確率と考えるということでしょうか。