確率の求め方

質問

確率を求める問題について質問です。

nを2以上の整数とする。中の見えない袋に2n個のボールがあり、そのうち3個が赤で残りは全て白。
AさんとBさんがAさんから始めて交互に1個ずつボールを取りだし、先に赤を取りだした方がが勝ちとする。取りだしたボールは戻さないものとして、Bさんが勝つ確率を求めよ。

という問題なのですが、どのように求めればいいのでしょうか。
答えとしては、(4n-5)/4(2n-1) となっています。

いきなり一般性を求めるのは難しいので、n=2,3,4を考えてみて
・n=2
1C1/4C1*3C1/3C1=1/4
・n=3
(3C1/6C1*3C1/5C1)+(3C1/6C1*2C1/5C1*1C1/4C1*3C1/3C1)=7/20
・n=4
(5C1/8C1*3C1/7C1)+(5C1/8C1*4C1/7C1*3C1/6C1*3C1/5C1)+(5C1/8C1*4C1/7C1*3C1/6C1*2C1/5C1*1C1/4C1*3C1/3C1)=11/28
と答えに合う形にはできるのですが……、一般性が見つけられません。
（上の式はそれぞれ、Bが(1回目に赤を引く確率)+(2回目に赤を引く確率)+（3回目に赤を引く確率）としています。）
見にくくて申し訳ありませんが、どういう式変形をすれば答えの形になるのか教えていただけたらと思います。

回答No.3

さゆみ（@sayumi0570）

偶数番目に始めて赤の確率

２K-1個が白　　　（２ｎ－３C２ｋ－１）/(2nC2k-1)　　　A
2k-1回目まで取り出したのが全部白

次に赤の確率　　（３C1)/(2n-2k+1C1)　　　　B

Σ（K=1→ｎ－１）A・B

（２ｎ－３C２ｋ－１）=(2n-3)!/(2k-1)!(2n-2k-2)!
(2nC2k-1)　　=（２ｎ）！/（２ｋ－１）！（２ｎ－２ｋ＋１）！

A=（２ｎ－２ｋ＋１）（２ｎ－２ｋ）（２ｎ－２ｋ－１）/２ｎ（２ｎー１）（２ｎ－２）

B=（３C1)/(2n-2k+1C1)　＝３/(2n-2k+1)

A・B＝３（２ｎ－２ｋ）（２ｎ－２ｋ－１）/２ｎ（２ｎ－１）（２ｎ－２）
　＝（６K^2－（１２ｎ－３）K＋６ｎ＾２－３ｎ）/２ｎ（２ｎ－１）（ｎ－1）

Σ（K=1→ｎ－１）A・B

=1/２ｎ（２ｎ－１）（ｎ－1）Σ（K=1→ｎ－１）（６K^2－（１２ｎ－３）K＋６ｎ＾２－３ｎ）

Σ（K=1→ｎ－１）（６K^2－（１２ｎ－３）K＋６ｎ＾２－３ｎ）＝ｎ（ｎ－１）（４ｎ－５）/2

なので　

1/２ｎ（２ｎ－１）（ｎ－1）Σ（K=1→ｎ－１）（６K^2－（１２ｎ－３）K＋６ｎ＾２－３ｎ）
　　＝（４ｎ－５）/４（２ｎ－１）

回答No.2

さゆみ（@sayumi0570）

偶数版目に始めて赤の確率

２K-1個が白　　　（２ｎ－３C２ｋ－１）/(2nC2k-1)　　　A
2k-1回目まで取り出したのが全部白

次に赤の確率　　（３C1)/(2n-2k+1C1)　　　　B

Σ（K=1→ｎ－１）A・B

偶数番目に出る確率を足していけば

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

「Bさんが勝つ」ことを考える前に、
まず「どの時点で試合が終わるか」を考えてみてください。

Aさんが勝つにしても、Bさんが勝つにしても「赤球が出たら」試合は終わります。
つまり、それまでは「白球が出続けている」ということです。

そして、AさんとBさんの違いは「奇数回目」か「偶数回目」かの違いです。
「2k回目（k＝ 1～n）で、初めて赤球が出る確率を足し合わせる」と考えてみてください。

球の総数が 2nと偶数なのも、そのあたりから出ているかと。＾＾