正八面体の各面に、辺に接しないように円を描き、それぞれの円周上に任意の

質問

正八面体の各面に、辺に接しないように円を描き、それぞれの円周上に任意の3点を取った。また、その正八面体の各面を赤色、青色、緑色各1面、黒色5面に塗り分けた。この正八面体の内部に、3点を結んで三角形を作る時、一つの頂点は黒色で他の2頂点は赤、青、緑のいずれか2色になる三角形はいくつか。

解説↓
三角形の色の組み合わせは（黒・赤・緑）（黒・赤・青）（黒・青・緑）の3通りが考えられる。
1つの面から3つの頂点を取ることになる。
黒は5面なので5*3=15通り。
赤・青・緑はそれぞれ3通り。
15*3*3=135（黒・赤・緑）。
この色の組み合わせが3種類あるので、135*3=405通り。

解説で、1つの面から3つの頂点を取ることになるとありますが、1つの面から頂点は1つではないのかと思っているのですが、問題の意味が理解できません。
また、赤・青・緑はそれぞれ3通りというのもどうしてそうなるのか分かりません。
解答を読んだだけではイメージがうまくわかないので、申し訳ないですがやり方を教えてください。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

三角形を作る（頂点を選ぶ）過程を整理すると、
(1) まず、3つの「面」を選びます。
(2) 次に、それぞれの面から頂点となる「点」を選びます。

ここで注意しないといけないのは、
「この正八面体の内部に、3点を結んで三角形を作る」
ということです。
三角形は正八面体の内部に作るということですから、同じ面から頂点を選ぶことはないことになります。
ですので、(1)のようにいきなり 3つの面を別々に選んでも構わないことになります。

＞1つの面から3つの頂点を取ることになる。
これはあまり表現がよくないと思います。
わたしであれば、
・「1つの面からは 3つの点を選ぶことができる」
・「1つの面には 3つの点が置かれているので」
とでも書きます。

＞赤・青・緑はそれぞれ3通り。
これも各面には 3つの点がある（選ぶことができる）という意味ですね。

もうちょっと素直（？）にするのであれば、こんな感じでしょうか。
・黒の点は、5面×3個＝ 15個の点から 1つを選ぶので、15とおり。

・残り 2点について、まず色の選び方は 3色から 2色を選ぶので 3Ｃ2＝ 3とおり。
それぞれの面には 3個の点があるので、残り 2点の選び方は 3Ｃ2×3個×3個＝ 27とおり。

・よって、頂点の選び方は 15×27＝ 405とおり。

「解説」は少し言葉が足りないような気がします。＾＾；