正八面体を三色で隣り合う面が異なる塗り方

質問

正八面体を3色で塗り、隣り合う面の色が違うように塗る塗り方を考えています。ただし、回転、反転で同じものは同一視します。

B（青）、　R（赤）、　Y（黄）の三色で塗るとすると、面の数が８つあるので、B、R、Yの面の数は6－１－１、５-2-1、4-3-1、4-2-2、3-3-2、の場合があります・・・、と考えているのですが、回転、反転で同一視、というところが腑に落ちません。

wikipediaとかで検索すると、回転群、とか言葉が出てくるのですが、これが適用できるのか、またできるときはどう上の問題に適用したらいいのかが分かりません。

もっと数学的にこう考えたらいい、というのがありましたらご助言お願いします。

回答No.1

nmrmsaktdh · ベストアンサー

面を頂点に、頂点を面に、辺を辺に対応させると正八面体は立方体になります。絵をかいてみるとわかると思います。このような操作を「双対グラフを取る」といいます。詳しくは検索されると良いと思います。
こうすると、辺で隣り合うものが違う色になるように頂点を塗り分ける方法と等しいことが分かります。このようにより考えやすい立体に問題を置き換えれば、回転等により等しくなるもの（自己同型といいます）も考えやすくなると思います。
一応こういう問題は明らかに排反になる場合でわけて後は慎重に調べるのがいい（つまり今のやり方でいい）と思います。後は重複度で割るという考え方もありますが、この場合はそういうことをつかうまでもないでしょう。
もっと一般にはポリアの数え上げ理論というものもあるので興味があれば調べてみると良いと思います。

お礼

書き込みありがとうございました。

ポリアの数え上げ理論と関係ありそうなことがわかりました。

回答No.2

hrsmmhr

隣り合う面を違う色に塗るときは
例えば八面体の上半分の４面を考えたら
４つのうち必ずどこかの対角に同じ色を塗らざるを得ないので
その４つの塗りわけのパターンは色を決めなければ二つしかないと思います
　ＡＢＣＤ＝○×○△か○×○×
です（もちろん回転させるパターンは考慮してください）
その上下の組み合わせを全部試せばいいのではないですか？