円の方程式の微分について

質問

円の方程式の微分について

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
という円の微分について教えてください。

変形して、
(y-b)^2=r^2-(x-a)^2
y={r^2-(x-a)^2}^(1/2)+b

これを微分すると、
y'=(1/2)×{r^2-(x-a)^2}^(-1/2)×(2a-2x)
になると考えました。
これで、答えがあっているのでしょうか？

この微分を用いて、任意の中心(a,b)をもつ半径rの円をX軸で回転させたときの面積を求めるつもりです。
ある製品の表面積を求めたいのですが、数学が不得意で苦労しています。
よろしくお願いします。

回答No.2

2ac0uO · ベストアンサー

半分正解です。

> 変形して、
> (y-b)^2=r^2-(x-a)^2
> y={r^2-(x-a)^2}^(1/2)+b

円ですので、下記の場合もありますので、こちらの微分も存在します。
y=-{r^2-(x-a)^2}^(1/2)+b

別解として、最初の式を x で微分すると、
2(x-a) + 2(y-b)y' = 0

最初の式より、
(y-b) = ±√(r^2 - (x-a)^2)

これらより y' を求める事も出来ます。

お礼

回答ありがとうございます。

プラスマイナスの両方になることを忘れていました。
助かりました。

回答No.1

spring135

あっています。

もう少し簡単には
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 の両辺をｘで微分して
2(x-a)+2(y-b)y'=0
これより
y'=-(x-a)/(y-b)=-(x-a)/{r^2-(x-a)^2}^(1/2)

お礼

回答ありがとうございます。

両辺を先に微分する方法もあったんですね。
勉強になりました。