- ベストアンサー
円の方程式の決定
- みんなの回答 (6)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(1)この手の問題は、一般形では解いた事がなかったので解いてみました。 (2)標準形では、ちょっとした綾があります。 (3)ピタゴラス数(3,4,5)、(5,12,13)が、見え隠れします。 -------------------- >>(x-a)^2 + (y-b)^2=r^2 >>x軸に接する。→ r= |b| ここが綾です。 bが算出された後で,r=|b| とするか、 二点のy座標が正であるから、 円はx軸より上(x軸を含んで)にあるから、 最初からr=bと書いても良いとも思われます。 (問題によっては、r=-bもあり得ます。) (x-a)^2 + (y-b)^2=b^2 この式から出発すれば上記の事は・・・。 >>(5,1), (-2,8)を通る。 (5-a)^2 + (1-b)^2=b^2 (-2-a)^2 + (8-b)^2=b^2 [25-10a+a^2]+[1-2b+b^2]=b^2 [4+4a+a^2]+[64-16b+b^2]=b^2 26-10a+(a^2)=2b → 208-80a+8(a^2)=16b 68+4a+(a^2)=16b 208-80a+8(a^2)=68+4a+(a^2) 7(a^2)-84a+140=0 (a^2)-12a+20=0 (a-2)(a-10)=0 (a,b,r)=(2,5,5),(10,13,13) (x-2)^2 + (y-5)^2=25 (x-10)^2 + (y-13)^2=169 ----------------- >>一般形をつかうとL、m、nの三つが出てきてしまうし。 (x^2)+(y^2)+Lx+my+n=0・・・(0) 円とx軸の交点(接点)を考えると、 y=0 と置けば交点(接点)の式になります。 (x^2)+Lx+n=0 ここで、条件より ’接点’だから、重解を持つ事になって、 判別式がゼロになります。 D=0 (L^2)-4n=0・・・(1) (0)に (5,1), (-2,8)を代入して 26+5L+m+n=0・・・(2) 68-2L+8m+n=0・・・(3) (1)(2)(3)で解ける事になります。 手順としては、mを消去して、nをLで表して、 (1)に代入して、Lの二次方程式になります。 208+40L+8m+8n=0 68-2L+8m+n=0 140+42L+7n=0 20+6L+n=0 -n=6L+20 -4n=24L+80 (L^2)+24L+80=0 (L+4)(L+20)=0 (L,m,n)=(-4,-10,4),(-20,26,100) x^2+y^2-4x-10y+4=0 →(x-2)^2+(y-5)^2=25 x^2+y^2-20x+26y+100=0 →(x-10)^2+(y-13)^2=169 -----------
その他の回答 (5)
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
> 一般形をつかうとl、m、nの三つが出てきてしまうし、 補足にあなたのやった解答をかいてくれないとl,m,nが何だか分かりません。 > (X-a)^2 + (Y-b)^2=r^2だとaもしくはbだけの式にできないのです。 やった事の解答を不完全でも書かないと分かりませんよ。 一般形を使うなら、X軸に接する条件を入れた式を使ってみては? 中心のY座標がb半径がr,X軸に接するからr=bです。 円の式は (X-a)^2 + (Y-b)^2=b^2 と書けますよ。 この円が2点(5、1)、(-2、8)を通るから、 点の座標を代入してやれば、a,bの関係式が2つ出来ませんか? a,bはその2つの関係式を連立させて解けば出てこないですか? 2組の(a,b)が出てきますので、求める円は2通り出てきます。 解法は他の方がアドバイスしてみえるような方法など、何通りもあります。 まず、自分で思いつく方法で必ずできると思って解答を作ってみることが大切です。分からなくなって行き詰ったら、その未完成の解答を補足に書いてわかからない箇所を質問して下さい。
お礼
回答ありがとうございます。 拙い質問ですみませんでした。
- debut
- ベストアンサー率56% (913/1604)
x軸に接するとき、中心の座標と半径には何か関係は ないでしょうか? 例えば、(x-2)^2+(y-5)^2=5^2はx軸に接しますよね。
お礼
回答ありがとうございます。 ピンときました。
- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
円の中心は2点A(5,1),B(-2,8)の垂直2等分線上にある。 この直線の方程式をy=ax+bとすると、円の中心Oは(x,ax+b)と表せる。 Oからx軸に下ろした垂線の長さは|ax+b|で、これが円の半径だから、 |ax+b|=OA=OBとして、xが決まり、円の中心が決まる。 条件を満たす円は、小さい円と大きい円の2つがあるようです。
お礼
回答ありがとうございます。 大変参考になりました。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
すぐに答えを得ようとするな。 そして具体的にどこまでできて、何が行き詰まっているかを書け。
お礼
回答ありがとうございます。 がんばってみます。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>(X-a)^2 + (Y-b)^2=r^2を使うのか一般形を使うのかすら判断できません。 思い付いた方法でまずやってみてから、再度質問するがいい。
お礼
回答ありがとうございます。 すでにやってみたのですが途中で行き詰ってしまいました。一般形をつかうとl、m、nの三つが出てきてしまうし、(X-a)^2 + (Y-b)^2=r^2だとaもしくはbだけの式にできないのです。 どうしたらいいのでしょう?
関連するQ&A
- 円の方程式について
点(2,3)を通り、y軸に接して中心が直線 y=x+2 上にある円の方程式を求めよ。 という問題で解答が、 y軸に接して中心が直線 y=x+2 上にあるから、求める円の方程式は (x-a)^2+{y-(a+2)}^2=a^2 とおける。これが、点(2,3)を通るから (2-a)^2+(3-a-2)^2=a^2 a^2-6a+5=0より (a-1)(a-5)=0 よって a=1,5 ゆえに (x-1)^2+(y-3)^2=1, (x-5)^2+(y-7)^2=25 だったのですが、よく理解が出来ませんでした。 疑問点は、 (1)直線から円の方程式がどうして求められるのか。 (2)なぜ解が2つあるのか。 この2点です。 どなたか回答、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 円の方程式の微分について
円の方程式の微分について (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 という円の微分について教えてください。 変形して、 (y-b)^2=r^2-(x-a)^2 y={r^2-(x-a)^2}^(1/2)+b これを微分すると、 y'=(1/2)×{r^2-(x-a)^2}^(-1/2)×(2a-2x) になると考えました。 これで、答えがあっているのでしょうか? この微分を用いて、任意の中心(a,b)をもつ半径rの円をX軸で回転させたときの面積を求めるつもりです。 ある製品の表面積を求めたいのですが、数学が不得意で苦労しています。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 円の方程式の問題
a>0として、xy平面上の定点A(0,a^3)を通り、x軸から2a^2の長さの線分を切り取るような円がある。 その円の中心Pの軌跡をCとする。 (1)曲線Cの方程式を求めよ。 (2)Cとx軸が異なる2点で交わるとき、Cとx軸で囲まれる部分の面積Sの最大値を求めよ。 (補足:問題には書いてありませんが、恐らく(2)のSはy≦0に存在する下の方の部分の面積のことと思われます) という問題が解けません。 分かるところまで書くと、 P(s,t)、円の半径をrとすると、 円は方程式 (x-s)^2+(y-t)^2=r^2 で表せる。 APの距離を使うのかと思いましたが良く分かりませんでした。 分かる方いましたら宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式 接線方程式
曲線y=f(x)が任意の点Pでの接線が x軸と交わる点をQ、y軸と交わる点をRとするときPがQRの中点である。 y=f(x)を満たす微分方程式を求める問題で 解答は 接線の方程式 y=y'(x-a)+b (1) 点Qのとき0=y'(x-a)+b (2) 点PはQRの中点→a=x/2 b=y/2 (3) (3)を(2)に代入して微分方程式を立てています。 なぜですか? (1)を立式した時点で傾きy'と通過する点(3)がわかるので(1)に代入しませんか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 円と方程式の問題です。
円と方程式の問題ですが、明日の数学の時間の板書に当たってしまいましたので、どうか教えてください!!自分なりの回答はできていますので、答えだけでもいいです。 中心が点P、半径rの円は次の条件を満たしています。 (a)二つの円 C1 : x^2+y^2=1, C2 : x^2+y^2-6x+ 5=0 と外接する。 (b)Pと原点Oを結ぶ直線とx軸の正方向とのなす角が60°。 このときの、円Cの半径と中心P の座標を求めるという問題なのですが・・・。 ヒントでも何でもいいので、お願いします!!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数IIの円と方程式の問題で分からないところが・・
数IIの円と方程式の問題で分からないところが・・2問ほどあります。 アドバイスだけでいいので、教えてもらえると非常にありがたいです。 1問目:円(x-1)^2+(y-2)^2=25上の点(4,6)における接線の方程式を求めよ。 この問題の解き方がさっぱり分かりません^^; x1*x+y1*y=r^2 という公式は、x^2+y^2=r^2のときしか使えないですよね? 答えは3x+4y-36=0とあります; 2問目:点A(2,4)から円x^2+y^2=10に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。 この問題もさっぱり分かりません^^; 答えは3x+y=10,(3,1) -x+3y=10,(-1,3)とあります;
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 丁寧でわかりやすかったです。