不等式

質問

4X^3 - 9X + 2 > 0 の解き方を教えてください。

回答No.4

noname#190065 · ベストアンサー

4X^3-9X+2=0を解けば、ｘ軸との交点が見つかります。下記のサイトに、X=A+□/Aとおいて、３次方程式を解く方法があります。
http://www.gifu-nct.ac.jp/sizen/okada/3eq/3eq.pdf

回答No.7

alice_44

その通り。
x = (√3)cosθ によって、そのように解ける。

ただし、
カルダノ法に比べた三角関数法の利点は
解の概数評価がやりやすいことなので、
X1,X2,X3 の大小を比較するのに、
小数を経由するのは、どんなもんか。
それでよいなら、カルダノ公式でも構わない訳だ。

回答No.6

info22_

4X^3 - 9X + 2 =0
を解く。途中計算が長くなるので省略。求めた３つとも実数の解で
X1=-(√3)cos((1/3)atan((√23)/2))
X2=((√3)/2)cos((1/3)atan((√23)/2))-(3/2)sin((1/3)atan((√23)/2))
X3=((√3)/2)cos((1/3)atan((√23)/2))+(3/2)sin((1/3)atan((√23)/2))

X1,X2,X3の大小を比較すると
X2-X1=3((√3/2)cos((1/3)atan((√23)/2))-(1/2)sin((1/3)atan((√23)/2))=3cos((π/3)+(1/3)atan((√23)/2))>0
X3-X2=3sin((1/3)atan((√23)/2))>0
よりX1<X2<X3である。
従って、
与不等式の解は、X^3の係数4が正なので
　X1<X<X2, X3<X
すなわち
　-(√3)cos((1/3)atan((√23)/2))＜X＜((√3)/2)cos((1/3)atan((√23)/2))-(3/2)sin((1/3)atan((√23)/2)),

　X>((√3)/2)cos((1/3)atan((√23)/2))+(3/2)sin((1/3)atan((√23)/2))

と求まる。

[補足] X1,X2,X3を電卓等で計算して見ると
X1=-1.60073616910962…
X2=0.2274520456117…
X3=1.37328412349785…
となります。

回答No.5

alice_44

解の公式には、いろいろなものがある。

今回の方程式(にしたもの)は、結果的に
３個の実数解を持つから、カルダノ公式や
そのバリエーションだと、表面上、
式に虚数が出てくる。
最終的に不等式を解くためには、
三個の解の大小を評価する必要があるが、
複素数を含んだ式で表された実数の
大小を評価するのは、大変煩雑だ。

今回は、前にリンクしたビエタ公式で
x = (√3)cosθ と置くことを勧める。

回答No.3

alice_44

あ、ホントだ。
4X^2 - 9X + 2 > 0 かと思ってた。

でも、4X^3 - 9X + 2 > 0 だと、
ますます解の公式じゃない？
4X^3 - 9X + 2 = 0 の解さえ判れば
後はなんとでもなるけれど、
方程式は必ず解かなきゃならないから。

参考↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F#.E3.83.93.E3.82.A8.E3.82.BF.E3.81.AE.E8.A7.A3

回答No.2

asuncion

＞4X^3 - 9X + 2 = 0 を解く。(解の公式でよい。)
＞その解 X = a, b を使って
＞与式が 4(x - a)(x - b) > 0 と変形できるから、

たぶん、これでは解けないと思います。
【理由】3次不等式だから。

回答No.1

alice_44

解き方：
4X^3 - 9X + 2 = 0 を解く。(解の公式でよい。)
その解 X = a, b を使って
与式が 4(x - a)(x - b) > 0 と変形できるから、
数直線上に x = a と x = b を書き込んで
どこの区間が不等式の解になるかを考える。

これで解けるよ。やってみ。