不等式

質問

不等式｜x｜/(1+｜x｜)+｜y｜/(1+｜y｜)≧｜x+y｜/(1+｜x+y｜)が成り立つことを示せ

｜x｜/(1+｜x｜)≧｜x｜/(1+｜x+y｜)
｜y｜/(1+｜y｜)≧｜y｜/(1+｜x+y｜)
となるらしいのですがこれは何故でしょうか？教えてください

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞不等式｜x｜/(1+｜x｜)+｜y｜/(1+｜y｜)≧｜x+y｜/(1+｜x+y｜)が成り立つことを示せ

＞｜x｜/(1+｜x｜)≧｜x｜/(1+｜x+y｜)
＞｜y｜/(1+｜y｜)≧｜y｜/(1+｜x+y｜)
＞となるらしいのですがこれは何故でしょうか？教えてください
この不等式を証明するには、場合分けがいろいろ必要で面倒なので、それよりも、

上の式を直接、左辺－右辺で証明する方が場合分けもいらないし、分かりやすいと思うので、
直接証明してみます。（ちょっと式が長くなりますが。）
ａ＝｜ｘ｜、ｂ＝｜ｙ｜、ｃ＝｜ｘ＋ｙ｜とおきます。これから、ａ≧０，ｂ≧０，ｃ≧０
上の式を書き換えると、
｛ａ／（１＋ａ）｝＋｛ｂ／（１＋ｂ）｝－｛ｃ／（１＋ｃ）｝
＝a(1+b)(1+c)＋b(1+a)(1+c)－ｃ(1+a)(1+b)／(1+a)(1+b)(1+c)
分母＝(1+a)(1+b)(1+c)＞０
分子＝ａ（１＋ｂ＋ｃ＋ｂｃ）＋ｂ（１＋ｃ＋ａ＋ｃａ）－ｃ（１＋ａ＋ｂ＋ａｂ）
＝ａ＋ａｂ＋ａｃ＋ａｂｃ＋ｂ＋ｂｃ＋ｂａ＋ａｂｃ－ｃ－ｃａ－ｃｂ－ａｂｃ
＝（ａ＋ｂ－ｃ）＋２ａｂ＋ａｂｃ
ここで、｜ｘ＋ｙ｜≦｜ｘ｜＋｜ｙ｜が成り立つから、
ｃ≦ａ＋ｂより、ａ＋ｂ－ｃ≧０
ａｂ≧０，ａｂｃ≧０だから、分子≧０
分子／分母≧０だから、
｛ａ／（１＋ａ）｝＋｛１／（１＋ｂ）｝－｛ｃ／（１＋ｃ）｝≧０
よって、｜x｜/(1+｜x｜)+｜y｜/(1+｜y｜)≧｜x+y｜/(1+｜x+y｜)が成り立つ

でどうでしょうか？

お礼

違う解き方、ありがとうございました

回答No.3

mister_moonlight

結局　三角不等式を持ち出す証明にするなら　初めからそうすればよい。

以下、“等号成立条件　等”　は除外して説明する。それは自分で補って欲しい。
質問者の質問は、三角不等式を使う解法になっている。

三角形の成立条件に似ているので　｜x+y｜≦｜x｜＋｜y｜‥‥(1)　は三角不等式と言われている。
この証明は、両辺≧0から　2乗したものの差をとればすぐ証明できる。
x≧y≧0の時　(x)/(1+x)≧(y)/(1+y)‥‥(2)が成立する。これは　左辺-右辺で証明できる。
ここから、質問者の何故？という処になる。

(2)から　｜x｜/(1+｜x｜)≧｜x｜/(1+｜x｜＋｜y｜)、｜y｜/(1+｜y｜)≧｜y｜/(1+｜x｜＋｜y｜)。
これを足すと　｜x｜/(1+｜x｜)＋｜y｜/(1+｜y｜)≧(｜x｜＋｜y｜)｜/(1+｜x｜＋｜y｜)。
よって、(1)より　｜x｜/(1+｜x｜)＋｜y｜/(1+｜y｜)≧(｜x｜＋｜y｜)｜/(1+｜x｜＋｜y｜)≧(｜x+y｜)/(1+｜x＋y｜)となり証明される。

補足

x≧y≧0の時

と勝手にしていいのですか？

回答No.2

151A48

例えば　|x|/(1+|x|)と|x|/(1+|x+y|)でx=5，y=-6だと
　|x|/(1+|x|)=5/6 , |x|/(1+|x+y|)=5/2=15/6で
お尋ねのような不等式は，何か条件をつけないと成り立たないように思えますが？

補足

すみません、私も分かりません
ただ条件はないし答えにそう書いてあります