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複素数の偏角
alice_44の回答
馬鹿なこと言って茶化してる人がいるので、 A No.7 ～ No.9 を整理しておきます。 ＞ でも参考書見るとarctan(y/x)と書いてあるわけです．．． arg z = arctan(y/x) where z = x+yi, x,y∈R は、arg の表式にはなり得ません。 問題点は x = 0 ばかりではなく、tan の周期が π であること に起因して、複素平面の半分でしか arg を表せないからです。 arctan の値域は、-π/2 ～ π/2 にとることが多いけれど、 適当にずらして設定することも可能です。 だから、どこの半平面で arg z = arctan(y/x) になるかは、 arctan の定義次第で変わってくるのだけれど、いづれにせよ、 arg z = arctan(y/x) で表せるのは、複素平面の半分だけです。 既に書いたことですが、君の式では、 1-i と -1+i の偏角が同じ値になってしまいますね？。 ＞ 特に範囲制限等なさそうです． だったら、君の使っている参考書は、間違っているか、 最大限善意に解釈しても致命的に説明不足なので、 他の本で勉強したほうがよいです。 ＞ 一般的にarg zの定義ってどうなっているのでしょう？ arg を式で表示するには、いろいろやり方があると思いますが、 簡潔なのは arg z = Im log z だろうと思います。 ここで、Im は複素数の虚部。z の共役複素数を z^ として、 Im z = (z + z^)/2 で定義される関数です。 log は複素対数で、log z = ∫[t=1→z] dt/t で定義されます。 右辺の積分は、複素積分であるために積分路依存で、 2πi の整数倍を任意に加えられる不定性があります。このため、 上式の arg にも、2π の整数倍を任意に加えられる不定性があります。 それが、偏角を考えるときに動径を何回転させるかに対応する訳です。 通常、arg の値域が 0 ～ 2π になるように調整します。
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