２次関数グラフ（高校）

質問

（１）放物線Y＝-2ｘ二乗を平行移動したもので、点（1.3）を通り、頂点が直線Ｙ＝2Ｘ+1上にある
（２）頂点が（3.-9）でＸ軸から切り取る線分の長さが６である
上の条件を満たす放物線の方程式を求めよ。（１）（２）は別問題。

という問題がわかりません。教えてください。

回答No.5

asuncion

＞なぜ、y = a(x - α){x - (α + 6)}になるのかわかりません。

当該の放物線 = 0とおいて得る2次方程式の2つの解が
x = α、x = α + 6である（2個の実数解の差が6だから）ことはおわかりでしょうか。
これは、当該の放物線とx軸との交点のx座標が
x = α、x = α + 6であることと同値です。
x = αより、x - α = 0
x = α + 6より、x - (α + 6) = 0
ですから、2次方程式は
a(x - α){x - (α + 6)} = 0
という形をとります。
ここで、定数aは放物線の形状を決めますが、
この時点ではいくつであるかがわからないのでaのままにしてあります。
具体的に計算した結果、今回の問題ではa = -1であることがわかるわけです。

回答No.4

uen_sap

(1)方程式は

y=-2*(x-a)^2+b　でこのa,bを求めることになります。

(1,3)を通ることから式が一つ。
このグラフの頂点は(a,b)ですから、b=2*a+1これが二つ目の式
これを解いて、a, bを求める

(2)方程式は
y=a*(x-3)-9
ですから、y=0と置くいて、xについて解く。xの二つの解の差が6

お礼

解答ありがとうございます。
（２）の問題がよくわからないのですが、教えていただけませんか？
お願いします。

回答No.3

asuncion

＞と平方完成できる。

わざわざ平方完成するまでもなかったですね。
2つの実数解がα, α + 6であるとわかった時点で、
放物線の対称性からいって、
頂点のx座標がαとα + 6のちょうど中央であるα + 3であることは自明でした。

回答No.2

asuncion

設問2
求める2次関数がx軸から切り取る線分の長さが6であるとは、
2次関数 = 0とおいて得る2次方程式の2つの実数解の差が6であることと同値である。
2つの実数解のうち小さい方をαとおく。大きい方の解はα + 6である。
求める2次関数の式は
y = a(x - α){x - (α + 6)}
= a(x - α)(x - α - 6)
= a{(x - α)^2 - 6(x - α)}
= a{x^2 - (2α + 6)x + α^2 + 6α}
= a{x - (α + 3)}^2 - β}
と平方完成できる。頂点のx座標はα + 3である（ここでは、βの値に深入りする必要はない）。
これが3に等しいから、α = 0
y = ax(x - 6) = a(x^2 - 6x) = a(x - 3)^2 - 9a
頂点のy座標は9aである。これが-9に等しいから、a = -1
∴y = -x(x - 6) = -x^2 + 6x

お礼

丁寧な解答ありがとうございます！！
なぜ、y = a(x - α){x - (α + 6)}になるのかわかりません。
教えてください！

回答No.1

fmgjkewouv

（2）のX軸から切り取る線分の長さの意味がわからないのでとりあえず（1）のみだけ触れます。
（1）のヒント

1. ２次関数の方程式は=ax2+bx+c
2. 2次関数の方程式の頂点の座標は（-b/2a, -(b2-4ac/4a)
3.y=-2x2の平行移動なのでaは変わらないですよ
4.　あとは因数分解を使います。わからなければ教科書で復習すること。

数学は自分で解かないと成長ません。鉛筆と紙を使ってがんばりましょう。

お礼

回答ありがとうございます。
問題に手も足も出ないのは、基礎力が足りないからなのでしょうか？