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二次関数
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- ZIMA0063
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こんばんは。 まず、放物線y＝a x^2をx軸方向にt、y軸方向にsだけ平行移動すると、y＝a (x－t)^2＋s になること、 そして、放物線y＝a (x－t)^2＋sの頂点の座標は（t，s）となること、 はご理解されていますでしょうか。 以上のことを理解されていることを前提に解説いたします。 まず、この手の「放物線の式を求める」問題。 放物線の式 y＝ax^2＋bx＋c から、頂点を求めることをこれまでに勉強されたと思いますが、いかがでしょうか。 今度はその頂点を求める作業を反対にすれば、元の放物線の式が求められるのです。 では、「頂点はどこなんだ」ということになりますね。 そこで、問題文を読んでみますと、「直線y＝2x－4上にある」と書いてあります。 つまり、頂点P(と呼びます)は、(点Pのx座標とy座標の位置が)y＝2x－4を満たす座標にあるのです。 ですから、適当に頂点Pのx座標をtとしましょう(mでもsでも適当な文字でいいです)。 すると、頂点Pのy座標は「y＝2x－4」の関係から 2t－4 となりますね？ これで、頂点Pの座標を決めることができました。 P（t，2t－4） です。 ここまではよいでしょうか？ では続けます。 さて、頂点が(仮の形ですが)求まりましたので、これを平行移動させた式に代入します。 放物線y＝a (x－t)^2＋sの頂点の座標は（t，s）でしたから、 頂点P（t，2t－4）のときは、 y＝a (x－t)^2＋2t－4 となりますね。 おっと、忘れていました。 この放物線(2次関数)は、「放物線y＝2x^2を平行移動したもの」という設定でした。すなわち、a＝2というのは変わりません。 ですから、先ほどの式は結局、 y＝2(x－t)^2＋2t－4 というところまで求めることができます。 ここまで行けばもうゴールまでもう少しです。 上の放物線 y＝2(x－t)^2＋2t－4 は、点（2，4）を通るのですから、 x＝2、y＝4を放物線の式へ代入するわけです。 代入します。 4＝2(2－t)^2＋2t－4 ＝2(t^2－4t＋4)＋2t－4 移項させて、 2t^2－8t＋8＋2t－4－4＝0 両辺を2で割って計算します。 t^2－3t＝0 共通因数tでくくります。 t（t－3）＝0 ゆえに、t＝0，3 最後に、求められたtの値を代入して放物線の式を求めます。 (i)t＝0(頂点Pの座標が（0，－4）のとき) y＝2x^2－4 (ii)t＝3(頂点Pの座標が（3，2）のとき)のとき y＝2(x－3)^2＋2・3－4 ＝2(x－3)^2＋2 ←ここまででもよい ＝2x^2－12x＋20 ←問題文によってはここまで書く 以上です。 また何かあれば、補足で説明します。
その他の回答 (2)
- 回答No.3
放物線の性質 *形状はｘ＾2の係数で決まる。 [>この問題ではy=2x^2を平行移動したものとなっていますから、 答えもｘ＾2の係数は2です(平行移動しても形状は変わらない)。 *頂点が点(p,q)の放物線はy=a(x-p)^2+qで表される。 [>上でａ＝２ (x^2の係数が2)と決まっていますから 求める放物線はy=2(x-p)^2+q あとは条件を使うだけです。 *点(2,4)をとおり [>４=2(２-p)^2+q *頂点が直線y=2x-4上にある [>ｑ=2ｐ-4 あとは以上2式を連立して解くだけです。 ４＝2(4+p^2-4p)+q =2(4+p^2-4p)+2p-4 0=p^2-3p =p(p-3) p=0、q=-4 、頂点(0,-4)のとき y＝2x^2－4 p=3、q=2、頂点(3,2)のとき y=2x^2－12x＋20 となります。
質問者からのお礼
ありがとうございました とても参考になりました☆
- 回答No.1
- andre39
- ベストアンサー率33% (1/3)
もとの関数の頂点が(0,0)なので、平行移動後頂点がy=2x-4にある場合、平行移動後の関数の頂点は(a, 2a-4)となります。 あとは頑張って下さい。
質問者からのお礼
ありがとうございました 。とってもわかりやすかったです。 頑張ります♪
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質問者からのお礼
ありがとうございます。 すごくわかりやすくておかげさまで頑張れそうです。 本当にありがとうございました！！