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二次関数

こんばんは。 よろしくお願いいたします。 放物線y=2x^2を平行移動したもので、点(2,4)をとおり、頂点が直線y=2x-4上にある二次関数を求めよ。 という問題です。 y=2x-4をどのように式に入れたり、利用したりするのかわからずずっと考えています。y=2x^2にy=2x-4を代入してみたりしましたがうまくいきませんでした。 数学が苦手で未熟者ですが、一生懸命頑張りますのでよろしくお願いいたします。

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こんばんは。 まず、放物線y=a x^2をx軸方向にt、y軸方向にsだけ平行移動すると、y=a (x-t)^2+s になること、 そして、放物線y=a (x-t)^2+sの頂点の座標は(t,s)となること、 はご理解されていますでしょうか。 以上のことを理解されていることを前提に解説いたします。 まず、この手の「放物線の式を求める」問題。 放物線の式 y=ax^2+bx+c から、頂点を求めることをこれまでに勉強されたと思いますが、いかがでしょうか。 今度はその頂点を求める作業を反対にすれば、元の放物線の式が求められるのです。 では、「頂点はどこなんだ」ということになりますね。 そこで、問題文を読んでみますと、「直線y=2x-4上にある」と書いてあります。 つまり、頂点P(と呼びます)は、(点Pのx座標とy座標の位置が)y=2x-4を満たす座標にあるのです。 ですから、適当に頂点Pのx座標をtとしましょう(mでもsでも適当な文字でいいです)。 すると、頂点Pのy座標は「y=2x-4」の関係から 2t-4 となりますね? これで、頂点Pの座標を決めることができました。  P(t,2t-4) です。 ここまではよいでしょうか? では続けます。 さて、頂点が(仮の形ですが)求まりましたので、これを平行移動させた式に代入します。 放物線y=a (x-t)^2+sの頂点の座標は(t,s)でしたから、 頂点P(t,2t-4)のときは、  y=a (x-t)^2+2t-4 となりますね。 おっと、忘れていました。 この放物線(2次関数)は、「放物線y=2x^2を平行移動したもの」という設定でした。すなわち、a=2というのは変わりません。 ですから、先ほどの式は結局、  y=2(x-t)^2+2t-4 というところまで求めることができます。 ここまで行けばもうゴールまでもう少しです。 上の放物線 y=2(x-t)^2+2t-4 は、点(2,4)を通るのですから、 x=2、y=4を放物線の式へ代入するわけです。 代入します。  4=2(2-t)^2+2t-4   =2(t^2-4t+4)+2t-4 移項させて、  2t^2-8t+8+2t-4-4=0 両辺を2で割って計算します。  t^2-3t=0 共通因数tでくくります。  t(t-3)=0 ゆえに、t=0,3 最後に、求められたtの値を代入して放物線の式を求めます。 (i)t=0(頂点Pの座標が(0,-4)のとき)  y=2x^2-4 (ii)t=3(頂点Pの座標が(3,2)のとき)のとき  y=2(x-3)^2+2・3-4   =2(x-3)^2+2    ←ここまででもよい   =2x^2-12x+20    ←問題文によってはここまで書く 以上です。 また何かあれば、補足で説明します。

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ありがとうございます。 すごくわかりやすくておかげさまで頑張れそうです。 本当にありがとうございました!!

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その他の回答 (2)

  • 回答No.3
noname#57605

放物線の性質 *形状はx^2の係数で決まる。 [>この問題ではy=2x^2を平行移動したものとなっていますから、 答えもx^2の係数は2です(平行移動しても形状は変わらない)。 *頂点が点(p,q)の放物線はy=a(x-p)^2+qで表される。 [>上でa=2 (x^2の係数が2)と決まっていますから  求める放物線はy=2(x-p)^2+q あとは条件を使うだけです。 *点(2,4)をとおり [>4=2(2-p)^2+q *頂点が直線y=2x-4上にある [>q=2p-4 あとは以上2式を連立して解くだけです。 4=2(4+p^2-4p)+q =2(4+p^2-4p)+2p-4 0=p^2-3p =p(p-3) p=0、q=-4 、頂点(0,-4)のとき  y=2x^2-4 p=3、q=2、頂点(3,2)のとき  y=2x^2-12x+20 となります。

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質問者からのお礼

ありがとうございました とても参考になりました☆

  • 回答No.1

もとの関数の頂点が(0,0)なので、平行移動後頂点がy=2x-4にある場合、平行移動後の関数の頂点は(a, 2a-4)となります。 あとは頑張って下さい。

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質問者からのお礼

ありがとうございました 。とってもわかりやすかったです。 頑張ります♪

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