大学の解析の問題です！！

質問

次の関数がｘ＝０で極致をとるかどうか、漸近展開を用いてしらべよ。
ｆ（ｘ）＝x^2・sinx-x・(sinx)^2

という問題です。お願いします。

回答No.4

noname#199771

f(x)=x(sinx)(x-sinx)と変形すれば明らか。

でも、出題者は漸近展開の練習をさせたいのでしょう。

回答No.3

alice_44

補足が来ないなあ。
質問したきり見に来ていないのか、
自分でやってみる気がないのか…

sin x = x - (1/6)x^3 + O(x^5)
を
f(x) = (x^2)(sin x) - x(sin x)^2
へ代入してみると、
f(x) = (1/6)x^5 + O(x^7)　　←[*]
となる。

x = 0 近傍での f(x) の挙動は
f(x) ≒ (1/6)x^5 で決まるから、
f(0) は極値ではない　と判る。

[*] の計算を自分でやってみて、
疑問があれば、補足へどうぞ。

回答No.2

alice_44

その式に、sin x のマクローリン展開を代入すると、
f(x) のマクローリン展開が得られます。
定数項以外で、係数が 0 でない最低次の項が、
偶数次ならば、x=0 は極値であり、
奇数次ならば、x=0 は極値ではありません。
f(x) のマクローリン展開は、全ての項を求める必要はなく、
上記の判定がつくところまで、何項か求めれば十分です。
やってみてください。結果は、どうなりましたか？

回答No.1

Tacosan

「極致」ってなんだ.

漸近展開を使うまでもなく x=0 で極値はとらない.