極値の問題です 途中式もお願いします

質問

関数f(x)=log(sinx+2) (0＜x＜2π)について、次の問いに答えよ
(1) f(x)の第一次導関数f'(x)と第二次導関数f''(x)を求めよ
(2) f(x)の極値を求めよ
(3) f(x)の変曲点を求め、y=f(x)のグラフの概形を座標平面上にかけ
(4) kを実数の定数とするとき、０＜x＜2πにおけるlog(sinx+2)-kの解の個数を調べよ

回答No.1

alice_44

http://okwave.jp/qa/q8273719.html
↑と、よく似たスタイルですが、別の質問者なんですね。

考える箇所の全く無い、ほぼ型どおりの作業課題ですから、
こんなのを質問していては駄目です。
自分の答案を書いて「合ってるか？」と聞くようじゃないとね。

(1)
f(x) = log z, z = (sin x)+2 と考えて、合成関数の微分。
f'(x) = (df(x)/dz)(dz/dx) = (1/z)(cos x) = (cos x)/(2 + sin x).

そして、積の微分。
f''(x) = (cos x)'/(2 + sin x) + (cos x){1/(2 + sin x)}'
= (-sin x)/(2 + sin x) + (cos x){-1/(2 + sin x)^2}(2 + sin x)'
= { (-sin x)(2 + sin x) - (cos x)^2 }/(2 + sin x)^2
= -(1 + 2 sin x)/(2 + sin x)^2.

(2)
f'(x) の符号は分子の cos x と一致しているから、
増減表を書けば、f(x) の極値は
x = π/2 のとき極大 f(π/2) = log 3、
x = 3π/2 のとき極小 f(3π/2) = 0
であることが判る。(増減表略)

(3)
f''(x) の符号は分子の -(1 + 2 sin x) と一致しているから、
符号変化する場所は x = (7/6)π, (11/6)π であることが判る。
それが変曲点。

グラフの概形は(2)だけでも書けて、それで(4)も解けるが、
小問の構成から言えば、グラフに変曲点も書き込めということなのだろう。
(グラフ略)

(4)
グラフから、y = f(x) と y = k の交点数を読み取れば、
k < 0 のとき、0 個。
k = 0 のとき、1 個。
0 < k < log 2 のとき、2 個。
k = log 2 のとき、1 個。
log 2 < k < log 3 のとき、2 個。
k = log 3 のとき、1 個。
k > log 3 のとき、0 個。

極値の他に、境界値 f(0) = f(2π) = log 2 が必要になる。