数Ａ 整数の性質

質問

• 次の等式を満たす自然数Ｘ．Ｙ．Zの組をすべて求めよ。
• 1/x +1/2y +1/3z =4/3 (x≦y≦z)
• 解答: 1≦x≦y≦zであるから1/ｚ≦1/y≦1/x。4/3=1/x +1/2y +1/3z=1/x +1/2x +1/3x=11/6x。ｘ≦11/8ｘは自然数であるからｘ=1。

回答No.4

chamiken · ベストアンサー

＞1/2y+1/3zをｘを用いて1/2x+1/3xとしたのは
　1/xが一番大きいからですか？

今回の問題に限り、その通りです。
ちょっと難しいですが、
今回、置換によって文字を一つに限定した不等式を導く目的は、
x≦●という不等式を得ることにあります(もしくはy≦●かz≦●)。
これと自然数という条件によって、
0<x≦●というように値の範囲を限定するためです。
このx≦●のような不等式を導けるのが、
今回の問題ではx,y,zの中で一番小さいxに置換した場合だからです。
(与えられている条件が「自然数」以外の場合、
　x以外への置換が必要な場合もあり得るということです)

ちなみに、xとyをzに置き換えると、
z≧11/8が導かれ、z>0と併せても範囲が絞り込まれません。
また、y-xとz-yのどちらが大きいかわからないため、
x,zをyに置き換えることはできません(不等式の向きが不明のため)。
慣れれば何に置換すればいいか予測できるようになりますが、
わからなければ、ひとまずxに置換してみて、
うまくいかなかったらzに置換してみるというので問題ないかと思います。

＞また、不等式全体を2や3で割るのは、与式にそろえているのですか？
＞それはなぜなのでしょうか？

はい、与式に揃えるためです。
というか、
2や3で割って与式にそろえたほうが説明がわかりやすい気がしたためです。
1/x+1/2y+1/3z
=(1/x)+{(1/2)×(1/y)}+{(1/3)×(1/z)}
≦(1/x)+{(1/2)×(1/x)}+{(1/3)×(1/x)}
=(11/6)×(1/x)
と考えれば、不等式全体を2や3で割る必要はありません。

あ、ついでに。
1/2yという書き方だと、No.3の回答者の方のように
1/(2y)なのか(1/2)×yなのか混乱される場合があるのでご注意を。

お礼

納得です。

ありがとうございます。

数式ありの質問は初めてだったので
書き方に不備があり申し訳ありません。

丁寧な回答感謝いたします。