【算数】この仕組みを教えて頂けませんか？

質問

算数の問題です。

10×2＝20

という式の10を6と4に分けて、

6×2＝12
4×2=8

にしても、

12＋８=20

となり、答えはもちろん20になりますよね？

この「理由」って説明できますか？

つまり、

かける数（別にかけられる数でもいいですが）をそのままに、かけられる数を（ここでは１０）分けて（ここでは６とか４に）、そのそれぞれにかける数をかけて、その両者の答えを足して出た答えは、なぜ分ける前のかけられる数（ここでは10）にかける数をかけた時にでた答えと同じなのでしょうか？

割り算も同様です。

6÷5=1.2

この式の割られる数の6を5と１に分けて、

5÷５＝１
1÷５＝0.2

にして、それぞれの式の答えを足しても1.2になるのはなぜですか？

自分は今社会人でもちろん上記の数字が同じになるのは理解しているのですが、その理由をきちんと言語化して説明することができません。

なのでご教示できる方お願いします。

回答No.7

noname#180442 · ベストアンサー

理屈では、分配法則というものです。
１０×２＝（６＋４）×２＝６×２＋４×２、　６÷５＝（５＋１）÷５＝５÷５＋１÷５

これらを無理やり言語化すれば、「１０人にケーキを２個ずつ配るのに、最初に６人に配って、それから４人に配る」、「６本のようかんを５人に配るのに、最初に５本配って残り１本を５等分した」となるかな。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.6

alice_44

(しょーもない回答ですが、長いです。すみません。)

その「なぜ？」に答えるのは、難しいかもしれません。
答えの無い質問だからです。現象として、そのような
式変形が成り立つことは、貴方が見つけたとおりです。
この現象は、「分配法則」と呼ばれ、よく知られています。

では、その分配法則が成り立つのはなぜかというと、
あまり説明の方法が無くて、それが
掛け算と足し算の基本的な性質だから…とか、
そもそも分配法則を満たすものしか掛け算
足し算とは呼ばないから…とか、
かなりうっちゃり加減の説明をするのが通常です。

言語化して体裁を整えると、「分配法則は、環の公理
(定義の一部)である」とか言います。
「環」とは、掛け算と足し算を持つ系の総称です。
要するに、「そういうモンだよ」と言っているだけで、
何も説明はしていなんですけど。

あえて何か説明するとすれば、整数や有理数や実数の
定義を別途与えて、その下で、整数や有理数や実数が
環になっていることを、分配法則を含めて証明する…
というアプローチはあります。
ペアノによる自然数の定義や、その上での有理数の構成
などが有名ですね。だいぶ込み入った話になりますが。

そこまで食い下がって説明したとしても、依然として、
なぜ自然数がそのように定義できるのか？ そのように
定義して「自然数」と呼んだものは、我々が日常に
自然数と呼んでいるものと本当に同じものか？ という
疑問は残り、問題が先送りされるだけです。

ここで、数学の限界がひとつ明らかになります。
数学では、証明することが説明であり、証明されたことが
真理なのですが、証明を行うには、その根拠となる事実が
何かなくてはなりせん。何も無い所から、手品のように
定理を取り出す方法は無いのです。その出発点となる何か、
最初に認める真実は、証明抜きで認めるしかありません。

「我思う故に我あり」のような素朴で幸福な話ではなく、
証明は無いけれど、とりあえず合意して数学を始めよう
という、諦めと覚悟の産物なのです。

以上に基いて、私の結論は、なぜ分配法則が成り立つかに
説明は存在しないけれど、分配法則が成り立たない演算を
掛け算とか足し算とか呼ぶつもりはない。分配法則は
成り立つべきだと考えている…というものです。
そう、何の説明にもなっていないのですが。

おそらく、一番大切なことは、貴方が日常の計算で
分配法則が成り立つことを体験し、信じている…
そして、誰もがそれに同意している…ということです。
数学は、その後から始まるのです。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.5

Nakay702

＞算数の問題です。

＞10×2＝20
＞という式の10を6と4に分けて、
＞6×2＝12
＞4×2=8
＞にしても、
＞12＋８=20
＞となり、答えはもちろん20になりますよね？
＞この「理由」って説明できますか？

＞つまり、
＞かける数（別にかけられる数でもいいですが）をそのままに、かけられる数を（ここでは１０）分けて（ここでは６とか４に）、そのそれぞれにかける数をかけて、その両者の答えを足して出た答えは、なぜ分ける前のかけられる数（ここでは10）にかける数をかけた時にでた答えと同じなのでしょうか？

⇒集合論の考え方を利用すると分かりやすく説明できると思います。
A の中に B が含まれるとします。（A を「全体集合」、B を「部分集合」といいます。）
A に含まれるが、B には含まれない部分を B' とします。（これを 「Bの補集合」といいます。）
そこで、
A を10とすると、{ B ・B'｝ は、（１）｛１０・０｝、（２）｛９・１｝、（３）｛８・２｝、…（11）｛０・１０｝の１１個の組み合わせができます。
「A が２個で２０」になるのと同じように、「（１）～（11）で対になっているBの２個分とB'の２個分を足したものは常にどの組でも２０」になります。
例えば、（３）｛８×２ ・ ２×２｝＝｛１６＋４｝＝２０ という具合です。

＞割り算も同様です。
＞6÷5=1.2
＞この式の割られる数の6を5と１に分けて、
＞5÷５＝１
＞1÷５＝0.2
＞にして、それぞれの式の答えを足しても1.2になるのはなぜですか？

⇒同じように、A＝６とすると、
{ B ・B'｝ は、（１）｛６・０｝、（２）｛５・１｝、（３）｛４・２｝、…（７）｛０・６｝の７個の組み合わせができます。
「Aを５等分したうちの１個は1.2」ですが、「（１）～（７）で対になっているBの５等分とB'の５等分を足したものも、常にどの組でも等しく1.2」になります。
例えば、（３）｛４÷５ ・ ２÷５｝＝｛0.8 ＋ 0.4｝＝1.2 という具合です。

十分言語化した説明になっているかどうか分かりませんが、以上ご回答まで。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.4

ORUKA1951

はは(^^)
＞つまり、
　以降をもっとうまい言い回しはないかと言う事ですね。

(前提) 掛け算とは、同じ数を何回も加え続けることでしたね。
　ふたつの数を加えた後に、その全体をある回数繰り返して加えたものと、あらかじめその回数加えたものどおしを、後で足しても同じ数になる。
　(掛ける)という言葉を使うと
　ふたつの数を加えた後にある数をかけたものと、あらかじめ掛けたものを足しても同じ数になる。

　と言うのが説明になります。

　ミカン２個とリンゴを３個を入れた袋が５袋あるとき、ミカンは１０個でリンゴは１５個あります。これは、２個のミカンを５皿と３個のリンゴを５皿あるときに、５袋に分けるのと同じ。

(注意)
　この関係は中学校で数の拡張---引き算は【負の数を加えること】、割り算は【逆数をかけること】を学んだ後で、

[交換]　A ? B = B ?
[結合]　AC + BC = (A + B)C
[分配] (A + B)C = AC + BC
　として学びます。

[交換]　A ? B = B ?
　　　A-B ≠ B-A ですが、A + (-B) = (-B) + A
　　　A÷B ≠ B÷A ですが、A ×(1/B) = (1/B) ×A
[結合]　AC + BC = (A + B)C
[分配] (A + B)C = AC + BC

　割り算も

１０個のミカンと１５個のリンゴを５つに分けるときは、
(10 + 15)×(1/5) = 10×(1/5) + 15×(1/5)と分配になります。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

CC_T

10×2
＝（6+4）×2
＝6×2＋4×2
＝20

6÷5
＝（5+1）÷5
＝ 5/5+1/5
＝1.2

中学生レベルの同類項の分配法則と結合法則のくだりが該当しますが、この概念は言語化して伝えるのは結構難しいですね。より基本的な概念まで説明に含むことになるので、図形的なイメージとともに説明するのが早いでしょう。

例えば男の子６人と女の子４人の10人全員で折鶴を２羽ずつ折る場合や、6つのお菓子を５人でわける場合を考えるとイメージしやすいのでは？

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

he-goshite-

１０×２ を図解してみますと，

○○○○○○○○○○
かける
２（二倍）
＝
○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
と描いても

○○○○○○○○○○　×　２ ＝　○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○
と描いても　おなじことですね。

１０＝６＋４　すなわち，
○○○○○○○○○○　＝　○○○○○○　＋　○○○○　
の両辺に２をかけてみましょう。

○○○○○○○○○○　　○○○○○○　　○○○○
　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　＋
○○○○○○○○○○　　○○○○○○　　○○○○
10×２　　　　　　　　　＝　　　６×２　　　　　＋ 　　４×２
です。　

わたしはこのようにして，自分で納得しました。
※ごめんなさい。画面上の表示で，横位置が合っていないかもしれません　<(_ _)>

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

ok-kaneto

分配法則です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E9%85%8D%E6%B3%95%E5%89%87

10x2=20
(6+4)x2=20
6x2 + 4x2 = 20

割り算は同様に逆数の掛け算とおくこともできるので

6÷5=1.2
6x(1/5)=1.2
(5+1)x(1/5)=1.2
5x(1/5) + 1x(1/5)=1.2
5÷5 + 1÷5=1.2

お礼

回答ありがとうございます。