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２π∫０～１（１－ｔ）＾２cos２ｔｄｔの積分
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- alice_44
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部分積分というのは、 積の微分 (fg)' = f'g + fg' を積分して、 fg = ∫f'gdx + ∫fg'dx として使うこと。 だから、計算したい積分 ∫f'gdx よりも ∫fg'dx のほうが簡単なことが、要件となる。 与えられた被積分関数を、積分しやすい f' と 微分したら簡単になる g の積に分解する ことがポイント。 今回のように、多項式と三角関数の積なら、 三角関数を f' 多項式を g として、 ∫f'gdx = fg - ∫fg'dx と変形すればよい。 部分積分を二度行えば、多項式側が定数になり、 ただの三角関数の積分に帰着される。
- yyssaa
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＞部分積分の質問なので不定積分で回答します。 ∫(1-t)^2cos2tdt=∫(1-2t+t^2)cos2tdt =∫cos2tdt-2∫tcos2tdt+∫t^2cos2tdt ∫cos2tdt=(1/2)sin2t+C1(積分定数)・・・(1) {(t/2)sin2t}'=(1/2)sin2t+tcos2tから ∫tcos2tdt=(t/2)sin2t-∫(1/2)sin2tdt =(t/2)sin2t+(1/4)cos2t+C2(積分定数)・・・(2) [{(1/2)t^2}sin2t]'=tsin2t+t^2cos2tから ∫t^2cos2tdt=(1/2)t^2sin2t-∫tsin2tdt・・・(3) ここで{(-t/2)cos2t}'=-(1/2)cos2t+tsin2tから ∫tsin2tdt=(-t/2)cos2t+∫(1/2)cos2tdt =(-t/2)cos2t+(1/4)sin2t+C3(積分定数)・・・(4) (4)を(3)に代入 ∫t^2cos2tdt={(1/2)t^2-(1/4)}sin2t+(t/2)cos2t-C3(積分定数) 以上から∫(1-t)^2cos2tdt ={(1/2)t^2-t+(1/4)}sin2t+(t/2-1/2)cos2t+C(積分定数) (積分定数はまとめてあります)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
「部分積分」とやらがどういうものか, 理解していますか?
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