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cos^4θの定積分
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#2です。 分からなければ補足質問して下さい。 A#2の最後の式の =(1/4)∫[0→π/2] (3+4cos(2θ)+cos(4θ))dθ の「cos(2θ)」や「cos(4θ)」の項は[0→π/2]で積分するとゼロになるので =(1/4)∫[0→π/2] 3dθ =(3/4)(π/2) =3π/8 となるかと思います。 なお、自力でやれるよう教科書で積分の所を復習するようにして下さい。
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- info22_
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cosθは偶関数なのでcos^4θも偶関数となります。 積分範囲も正負対称なので、積分範囲を半分の範囲の「0からπ/2」とすると、積分値は半分になるので ∫[-π/2→π/2] cos^4θdθ=2∫[0→π/2] cos^4θdθ =(1/2)∫[0→π/2] (2cos^2θ)^2dθ =(1/2)∫[0→π/2] (1+cos(2θ))^2dθ =(1/2)∫[0→π/2] (1+2cos(2θ)+cos^2(2θ))dθ =(1/2)∫[0→π/2] (1+2cos(2θ)+(1/2)+(1/2)cos(4θ))dθ =(1/2)∫[0→π/2] ((3/2)+2cos(2θ)+(1/2)cos(4θ))dθ =(1/4)∫[0→π/2] (3+4cos(2θ)+cos(4θ))dθ 後は分かると思うので自力でやってみて下さい。
- noname2727
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∫[-π/2～π/2]cos^4θｄθ ＝２∫[0～π/2]cos^4θｄθ です。 cos^4θは偶関数なので、ｙ軸対象で、ｘ＞0の積分値とｘ＜0の積分値が一致します。 よって、負の部分は考えなくてもよくて、この問題の場合、 ∫[-π/2～0]cos^4θｄθ＝∫[0～π/2]cos^4θｄθ となり、上の式が成立します。
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